Страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

11.5. Найдите наименьший положительный период и постройте график функции:

1) $y = \sin3x$

2) $y = \sin3x\cos2x + \sin2x\cos3x$

3) $y = \sin\frac{1}{3}x + 1$

1) y = sin3x;

Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = \sin(kx)$ используется формула $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $2\pi$ — это основной период функции $y = \sin x$.

В данном случае $k = 3$. Следовательно, наименьший положительный период равен:$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

График функции $y = \sin(3x)$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза. Амплитуда функции равна 1, область значений функции — отрезок $[-1, 1]$. Основные точки на одном периоде $[0, \frac{2\pi}{3}]$:

• $(0, 0)$ — начало периода
• $(\frac{\pi}{6}, 1)$ — точка максимума
• $(\frac{\pi}{3}, 0)$ — пересечение оси Ox
• $(\frac{\pi}{2}, -1)$ — точка минимума
• $(\frac{2\pi}{3}, 0)$ — конец периода

Ответ: Наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{3}$. График функции — это синусоида, сжатая в 3 раза вдоль оси Ox по сравнению с графиком $y = \sin x$.

2) y = sin3xcos2x + sin2xcos3x;

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$. Тогда функция принимает вид:$y = \sin(3x + 2x) = \sin(5x)$.

Теперь найдем наименьший положительный период для функции $y = \sin(5x)$. Здесь $k = 5$.$T = \frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$.

График функции $y = \sin(5x)$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 5 раз. Амплитуда функции равна 1, область значений — отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: Наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{5}$. График функции — это синусоида, сжатая в 5 раз вдоль оси Ox по сравнению с графиком $y = \sin x$.

3) y = sin$\frac{1}{3}$x + 1.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx) + c$ такой же, как и у функции $y = \sin(kx)$, так как сложение с константой $c$ является лишь сдвигом графика по вертикали и не влияет на периодичность.

В данном случае $k = \frac{1}{3}$. Период равен:$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Для построения графика функции $y = \sin(\frac{1}{3}x) + 1$ нужно выполнить два преобразования над графиком $y = \sin x$:

1. Растянуть график $y = \sin x$ от оси Oy в 3 раза. Получится график функции $y = \sin(\frac{1}{3}x)$.
2. Сдвинуть полученный график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Амплитуда колебаний равна 1. Средняя линия графика — прямая $y=1$. Область значений функции — отрезок $[1-1, 1+1]$, то есть $[0, 2]$.

Ответ: Наименьший положительный период $T = 6\pi$. График функции получается из графика $y = \sin x$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox и последующим сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

11.6. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = \sin2x - \sin x;$

2) $y = \sin5x \cos x - \sin x \cos 5x;$

3) $y = \frac{2}{3}\sin4x + \sin2x;$

4) $y = 2 - \sin x \cos x;$

5) $y = \sin4x\cos4x;$

6) $y = \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}.$

1) Функция $y = \sin(2x) - \sin(x)$ является суммой двух периодических функций: $y_1(x) = \sin(2x)$ и $y_2(x) = -\sin(x)$.

Найдем наименьшие положительные периоды для каждой из них. Период функции вида $f(x) = a \sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Период функции $y_1(x) = \sin(2x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Период функции $y_2(x) = -\sin(x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Наименьший положительный период функции $y(x)$ равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, 2\pi) = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

2) Преобразуем данную функцию, используя тригонометрическую формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

В нашем случае $y = \sin(5x)\cos(x) - \sin(x)\cos(5x) = \sin(5x-x) = \sin(4x)$.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $y = \sin(4x)$ период равен $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) Функция $y = \frac{2}{3}\sin(4x) + \sin(2x)$ является суммой двух периодических функций: $y_1(x) = \frac{2}{3}\sin(4x)$ и $y_2(x) = \sin(2x)$.

Период функции $y_1(x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Период функции $y_2(x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Наименьший положительный период исходной функции равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{2}, \pi) = \pi$.

Ответ: $\pi$.

4) Преобразуем данную функцию, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, откуда $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$y = 2 - \sin(x)\cos(x) = 2 - \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Период функции $y = A \cdot \sin(kx+b) + C$ определяется коэффициентом $k$ при $x$ и не зависит от константы $C$ и множителя $A$. В данном случае период совпадает с периодом функции $y = \sin(2x)$.

Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

5) Преобразуем данную функцию, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, откуда $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$y = \sin(4x)\cos(4x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 4x) = \frac{1}{2}\sin(8x)$.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $y = \frac{1}{2}\sin(8x)$ период равен $T = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

6) Преобразуем данную функцию, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, откуда $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$y = \sin(\frac{x}{3})\cos(\frac{x}{3}) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{x}{3}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{2x}{3})$.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $y = \frac{1}{2}\sin(\frac{2x}{3})$ период равен $T = \frac{2\pi}{|\frac{2}{3}|} = 2\pi \cdot \frac{3}{2} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.

11.7. Для функции $f(x)$ проверьте справедливость двух равенств и сделайте вывод — является ли число $T$ периодом функции:

1) $f(x) = \sin x$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$ и $\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}) = 0.5$, $T = \frac{2\pi}{3}$;

2) $f(x) = \begin{cases} x+2 \text{ при } x \le 1 \\ 3-x \text{ при } x > 1 \end{cases}$, $f(-1) = 1$ и $f(-1+3) = f(2)=1$, $T=3$.

1) Проверим справедливость данных равенств для функции $f(x) = \sin x$ и числа $T = \frac{2\pi}{3}$.

Первое равенство: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 $. Равенство верно.

Второе равенство: $ \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6}) $. Используя формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $, получаем $ \sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 $. Равенство также верно.

Теперь сделаем вывод, является ли $T = \frac{2\pi}{3}$ периодом функции $f(x) = \sin x$. Число $T$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. В нашем случае равенство выполнилось для частного случая $x = \frac{\pi}{6}$, но это не означает, что оно будет выполняться для всех $x$.

Для проверки найдем контрпример. Возьмем $x = 0$.

$f(0) = \sin(0) = 0$.

$f(0+T) = f(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как $f(0) \neq f(0+T)$ (ведь $0 \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$), число $T = \frac{2\pi}{3}$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$. Известно, что наименьший положительный период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$.

Ответ: оба равенства верны, но число $T = \frac{2\pi}{3}$ не является периодом функции.

2) Проверим справедливость данных равенств для функции $f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{при } x \le 1 \\ 3-x & \text{при } x > 1 \end{cases}$ и числа $T = 3$.

Первое равенство: $f(-1)$. Так как $-1 \le 1$, используем первую формулу: $f(-1) = -1 + 2 = 1$. Равенство $f(-1)=1$ верно.

Второе равенство: $f(-1+3) = f(2)$. Так как $2 > 1$, используем вторую формулу: $f(2) = 3 - 2 = 1$. Равенство $f(-1+3) = f(2) = 1$ верно.

Теперь сделаем вывод, является ли $T = 3$ периодом функции $f(x)$. Как и в предыдущем пункте, выполнение равенства $f(x_0+T) = f(x_0)$ для одного конкретного значения $x_0 = -1$ не доказывает периодичность функции.

Для проверки найдем контрпример. Возьмем $x = 1$.

$f(1)$: так как $1 \le 1$, используем первую формулу: $f(1) = 1 + 2 = 3$.

$f(1+T) = f(1+3) = f(4)$. Так как $4 > 1$, используем вторую формулу: $f(4) = 3 - 4 = -1$.

Так как $f(1) \neq f(1+T)$ (ведь $3 \neq -1$), число $T = 3$ не является периодом данной функции.

Ответ: оба равенства верны, но число $T = 3$ не является периодом функции.

11.8. Постройте график и запишите промежутки убывания функции:

1) $y = 2 - \sin 0.5x;$ 2) $y = 1 + \sin 1.5x;$

3) $y = 2\sin 2x;$ 4) $y = -\sin 3x.$

1) $y = 2 - \sin(0.5x)$

Построение графика:

График функции $y = 2 - \sin(0.5x)$ можно построить из графика $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований: 1. Растяжение вдоль оси Ox в 2 раза (коэффициент 0.5 при x). Период функции становится $T = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi$. Получаем график функции $y = \sin(0.5x)$. 2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox (знак минус перед синусом). Получаем график функции $y = -\sin(0.5x)$. 3. Сдвиг последнего графика вверх на 2 единицы вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = 2 - \sin(0.5x)$. Область значений функции: $[1; 3]$.

Нахождение промежутков убывания:

Для нахождения промежутков убывания функции найдем ее производную и определим, при каких значениях $x$ производная неположительна ($y' \le 0$).

$y' = (2 - \sin(0.5x))' = 0 - (\sin(0.5x))' = -\cos(0.5x) \cdot (0.5x)' = -0.5\cos(0.5x)$.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$-0.5\cos(0.5x) \le 0$.

Разделим обе части на -0.5, изменив знак неравенства на противоположный:

$\cos(0.5x) \ge 0$.

Функция косинус неотрицательна, когда ее аргумент находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, получаем двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на 2, чтобы выразить $x$:

$-\pi + 4\pi k \le x \le \pi + 4\pi k$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $[-\pi + 4\pi k, \pi + 4\pi k]$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $[-\pi + 4\pi k, \pi + 4\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 1 + \sin(1.5x)$

Построение графика:

График функции $y = 1 + \sin(1.5x)$ можно построить из графика $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований: 1. Сжатие вдоль оси Ox в 1.5 раза (коэффициент 1.5 при x). Период функции становится $T = \frac{2\pi}{1.5} = \frac{4\pi}{3}$. Получаем график функции $y = \sin(1.5x)$. 2. Сдвиг полученного графика вверх на 1 единицу вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = 1 + \sin(1.5x)$. Область значений функции: $[0; 2]$.

Нахождение промежутков убывания:

Найдем производную функции:

$y' = (1 + \sin(1.5x))' = 0 + (\sin(1.5x))' = \cos(1.5x) \cdot (1.5x)' = 1.5\cos(1.5x)$.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$1.5\cos(1.5x) \le 0$.

$\cos(1.5x) \le 0$.

Функция косинус неположительна, когда ее аргумент находится в промежутке $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 1.5x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Заменим 1.5 на $\frac{3}{2}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{3}{2}x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) \le x \le \frac{2}{3}(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

$\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi k}{3} \le x \le \pi + \frac{4\pi k}{3}$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi k}{3}, \pi + \frac{4\pi k}{3}]$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $[\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi k}{3}, \pi + \frac{4\pi k}{3}], k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = 2\sin(2x)$

Построение графика:

График функции $y = 2\sin(2x)$ можно построить из графика $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований: 1. Сжатие вдоль оси Ox в 2 раза (коэффициент 2 при x). Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Получаем $y = \sin(2x)$. 2. Растяжение полученного графика вдоль оси Oy в 2 раза (коэффициент 2 перед синусом). Получаем искомый график $y = 2\sin(2x)$. Область значений функции: $[-2; 2]$.

Нахождение промежутков убывания:

Найдем производную функции:

$y' = (2\sin(2x))' = 2(\sin(2x))' = 2\cos(2x) \cdot (2x)' = 4\cos(2x)$.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$4\cos(2x) \le 0$.

$\cos(2x) \le 0$.

Функция косинус неположительна, когда ее аргумент находится в промежутке $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $[\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = -\sin(3x)$

Построение графика:

График функции $y = -\sin(3x)$ можно построить из графика $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований: 1. Сжатие вдоль оси Ox в 3 раза (коэффициент 3 при x). Период функции становится $T = \frac{2\pi}{3}$. Получаем $y = \sin(3x)$. 2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox (знак минус перед синусом). Получаем искомый график $y = -\sin(3x)$. Область значений функции: $[-1; 1]$.

Нахождение промежутков убывания:

Найдем производную функции:

$y' = (-\sin(3x))' = -(\sin(3x))' = -\cos(3x) \cdot (3x)' = -3\cos(3x)$.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$-3\cos(3x) \le 0$.

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$\cos(3x) \ge 0$.

Функция косинус неотрицательна, когда ее аргумент находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 3x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}], k \in \mathbb{Z}$.

11.9. Сравните значения выражений:

1) $\sin \frac{5\pi}{7}$ и $\sin \frac{7\pi}{8}$;

2) $\sin \frac{4\pi}{9}$ и $\sin \frac{3\pi}{8}$;

3) $\sin \frac{3\pi}{11}$ и $\sin \frac{5\pi}{13}$.

1) Для сравнения значений $\sin \frac{5\pi}{7}$ и $\sin \frac{7\pi}{8}$ определим, в каких четвертях находятся углы. Поскольку $\frac{1}{2} < \frac{5}{7} < 1$ и $\frac{1}{2} < \frac{7}{8} < 1$, то оба угла $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$ находятся в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, то есть во второй координатной четверти. На промежутке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $y=\sin x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Сравним значения аргументов $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю $56$: $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{40}{56}$; $\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{49}{56}$. Так как $40 < 49$, то $\frac{40}{56} < \frac{49}{56}$, следовательно, $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$. Поскольку функция синус убывает во второй четверти, из неравенства $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$ следует, что $\sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8}$.

Ответ: $\sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8}$.

2) Для сравнения значений $\sin \frac{4\pi}{9}$ и $\sin \frac{3\pi}{8}$ определим, в каких четвертях находятся углы. Поскольку $0 < \frac{4}{9} < \frac{1}{2}$ и $0 < \frac{3}{8} < \frac{1}{2}$, то оба угла $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой координатной четверти. На промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним значения аргументов $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю $72$: $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{32}{72}$; $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}$. Так как $32 > 27$, то $\frac{32}{72} > \frac{27}{72}$, следовательно, $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$. Поскольку функция синус возрастает в первой четверти, из неравенства $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$ следует, что $\sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $\sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8}$.

3) Для сравнения значений $\sin \frac{3\pi}{11}$ и $\sin \frac{5\pi}{13}$ определим, в каких четвертях находятся углы. Поскольку $0 < \frac{3}{11} < \frac{1}{2}$ и $0 < \frac{5}{13} < \frac{1}{2}$, то оба угла $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой координатной четверти. На промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ является возрастающей. Сравним значения аргументов $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$. Приведем дроби к общему знаменателю $11 \cdot 13 = 143$: $\frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 13}{11 \cdot 13} = \frac{39}{143}$; $\frac{5}{13} = \frac{5 \cdot 11}{13 \cdot 11} = \frac{55}{143}$. Так как $39 < 55$, то $\frac{39}{143} < \frac{55}{143}$, следовательно, $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$. Поскольку функция синус возрастает в первой четверти, из неравенства $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$ следует, что $\sin \frac{3\pi}{11} < \sin \frac{5\pi}{13}$.

Ответ: $\sin \frac{3\pi}{11} < \sin \frac{5\pi}{13}$.

11.10. Постройте график функции, используя программу “Живая математика” или “GeoGebra”. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = 1 + 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = 2 - \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = 1 - \sin\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)$.

1) Для функции $y = 1 + 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$. График этой функции получается из графика $y = \sin(x)$ следующими преобразованиями: сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$, растяжение вдоль оси OY в 2 раза и сдвиг вверх по оси OY на 1. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции: $y' = (1 + 2\sin(x - \frac{\pi}{3}))' = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$.

Функция возрастает, когда ее производная положительна: $y' > 0$, то есть $2\cos(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, или $\cos(x - \frac{\pi}{3}) > 0$. Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в интервале $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Прибавив $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям, получаем:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Следовательно, промежутки возрастания функции: $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна: $y' < 0$, то есть $\cos(x - \frac{\pi}{3}) < 0$. Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в интервале $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Прибавив $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям, получаем:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$.

Следовательно, промежутки убывания функции: $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$ и убывает на промежутках $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $y = 2 - \sin(x + \frac{\pi}{3})$. График этой функции получается из графика $y = \sin(x)$ следующими преобразованиями: сдвиг влево по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$, симметричное отражение относительно оси Ox и сдвиг вверх по оси OY на 2. Для нахождения промежутков монотонности найдем производную: $y' = (2 - \sin(x + \frac{\pi}{3}))' = -\cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Функция возрастает при $y' > 0$, то есть $-\cos(x + \frac{\pi}{3}) > 0$, или $\cos(x + \frac{\pi}{3}) < 0$. Это неравенство выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Промежутки возрастания: $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает при $y' < 0$, то есть $-\cos(x + \frac{\pi}{3}) < 0$, или $\cos(x + \frac{\pi}{3}) > 0$. Это неравенство выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Промежутки убывания: $[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k]$ и убывает на промежутках $[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Для функции $y = 1 - \sin(x - \frac{3\pi}{4})$. График этой функции получается из графика $y = \sin(x)$ следующими преобразованиями: сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{3\pi}{4}$, симметричное отражение относительно оси Ox и сдвиг вверх по оси OY на 1. Для нахождения промежутков монотонности найдем производную: $y' = (1 - \sin(x - \frac{3\pi}{4}))' = -\cos(x - \frac{3\pi}{4})$.

Функция возрастает при $y' > 0$, то есть $-\cos(x - \frac{3\pi}{4}) > 0$, или $\cos(x - \frac{3\pi}{4}) < 0$. Это неравенство выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{3\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Прибавим $\frac{3\pi}{4}$ ко всем частям:

$\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$.

Промежутки возрастания: $[\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{9\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает при $y' < 0$, то есть $-\cos(x - \frac{3\pi}{4}) < 0$, или $\cos(x - \frac{3\pi}{4}) > 0$. Это неравенство выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{3\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Прибавим $\frac{3\pi}{4}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{9\pi}{4} + 2\pi k]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

11.11. Расположите в порядке возрастания значения выражений:

1) $\sin(1.3)$, $\sin(-1.3)$, $\sin(0.3)$, $\sin(0.9)$;

2) $\sin(0.3)$, $\sin(-0.3)$, $\sin(0.7)$, $\sin(1.4)$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами функции синуса $y = \sin(x)$.

1. Функция $y = \sin(x)$ является нечетной, то есть $sin(-x) = -sin(x)$ для любого $x$.

2. Функция $y = \sin(x)$ возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Учтем, что $\pi \approx 3.14$, следовательно, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

1) Расположим в порядке возрастания значения выражений: $sin(1.3)$, $sin(-1.3)$, $sin(0.3)$, $sin(0.9)$.

Аргументы всех синусов (1.3, -1.3, 0.3, 0.9) принадлежат промежутку возрастания функции $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-1.57 < -1.3 < 0.3 < 0.9 < 1.3 < 1.57$.

Поскольку на этом промежутке функция $y = \sin(x)$ возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Расположим аргументы в порядке возрастания:

$-1.3 < 0.3 < 0.9 < 1.3$

Следовательно, значения синусов от этих аргументов будут располагаться в том же порядке:

$sin(-1.3) < sin(0.3) < sin(0.9) < sin(1.3)$

Также можно рассуждать иначе. Используя свойство нечетности, $sin(-1.3) = -sin(1.3)$. Поскольку $1.3$ радиан находится в первой четверти ($0 < 1.3 < \frac{\pi}{2}$), $sin(1.3) > 0$. Значит, $sin(-1.3)$ — единственное отрицательное число в наборе, и оно будет наименьшим. Остальные аргументы (0.3, 0.9, 1.3) также находятся в первой четверти, и для них выполняется $0.3 < 0.9 < 1.3$, а значит и $sin(0.3) < sin(0.9) < sin(1.3)$.

Ответ: $sin(-1.3)$, $sin(0.3)$, $sin(0.9)$, $sin(1.3)$.

2) Расположим в порядке возрастания значения выражений: $sin(0.3)$, $sin(-0.3)$, $sin(0.7)$, $sin(1.4)$.

Все аргументы (0.3, -0.3, 0.7, 1.4) также принадлежат промежутку возрастания функции $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-1.57 < -0.3 < 0.3 < 0.7 < 1.4 < 1.57$.

Расположим аргументы в порядке возрастания:

$-0.3 < 0.3 < 0.7 < 1.4$

Так как на этом промежутке функция $y = \sin(x)$ возрастает, то и значения синусов будут располагаться в том же порядке:

$sin(-0.3) < sin(0.3) < sin(0.7) < sin(1.4)$

Аналогично первому пункту, $sin(-0.3) = -sin(0.3)$. Это единственное отрицательное значение, следовательно, оно наименьшее. Аргументы 0.3, 0.7, 1.4 положительны и меньше $\frac{\pi}{2}$, поэтому $sin(0.3) < sin(0.7) < sin(1.4)$.

Ответ: $sin(-0.3)$, $sin(0.3)$, $sin(0.7)$, $sin(1.4)$.

11.12. Постройте согласно алгоритму график функции:

1) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = 2 + \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Для построения графика функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ будем использовать последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ключевые точки на одном периоде: $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, 1), (\pi, 0), (\frac{3\pi}{2}, -1), (2\pi, 0)$.

2. Строим график функции $y_2 = 2\sin(x)$. Для этого растягиваем график $y_1 = \sin(x)$ от оси Ox в 2 раза (вертикальное растяжение). Амплитуда функции увеличивается до 2. Область значений становится $[-2, 2]$. Ключевые точки преобразуются в $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, 2), (\pi, 0), (\frac{3\pi}{2}, -2), (2\pi, 0)$.

3. Строим график искомой функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$. Для этого сдвигаем график $y_2 = 2\sin(x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ (горизонтальный сдвиг). Этот сдвиг называется фазовым сдвигом. Ключевые точки смещаются: $(\frac{\pi}{4}, 0), (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 2) = (\frac{3\pi}{4}, 2), (\pi + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{5\pi}{4}, 0), (\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, -2) = (\frac{7\pi}{4}, -2), (2\pi + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{9\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза с последующим сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.

2) Для построения графика функции $y = 2 + \sin(x + \frac{\pi}{4})$ будем использовать последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.

2. Строим график функции $y_2 = \sin(x + \frac{\pi}{4})$. Для этого сдвигаем график $y_1 = \sin(x)$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ (горизонтальный сдвиг). Ключевая точка $(0,0)$ переходит в $(-\frac{\pi}{4}, 0)$.

3. Строим график искомой функции $y = 2 + \sin(x + \frac{\pi}{4})$. Для этого сдвигаем график $y_2 = \sin(x + \frac{\pi}{4})$ вверх вдоль оси Oy на 2 единицы (вертикальный сдвиг). Область значений функции смещается и становится $[2-1, 2+1]$, то есть $[1, 3]$. Ключевая точка $(-\frac{\pi}{4}, 0)$ переходит в $(-\frac{\pi}{4}, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \sin(x + \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ и последующего сдвига вверх вдоль оси Oy на 2.

3) Для построения графика функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ сначала преобразуем выражение в аргументе синуса, чтобы выделить сдвиг: $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Построение будем производить путем преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Строим график функции $y_2 = \sin(2x)$. Для этого сжимаем график $y_1 = \sin(x)$ к оси Oy в 2 раза (горизонтальное сжатие). Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Ключевые точки $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, 1), (\pi, 0)$ преобразуются в $(0, 0), (\frac{\pi}{4}, 1), (\frac{\pi}{2}, 0)$.

3. Строим график искомой функции $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Для этого сдвигаем график $y_2 = \sin(2x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ (горизонтальный сдвиг). Ключевые точки смещаются: $(0+\frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{\pi}{6}, 0), (\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{5\pi}{12}, 1), (\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{2\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия к оси Oy в 2 раза с последующим сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.

1. Для каких функций существует вторая производная?

2. Что собой представляет вторая производная длины пути по времени при прямолинейном и равномерном движении?

1. Для каких функций существует вторая производная?

Вторая производная функции $y = f(x)$ — это производная от её первой производной. Она обозначается как $f''(x)$ или $\frac{d^2y}{dx^2}$.

Для того чтобы у функции $f(x)$ существовала вторая производная в некоторой точке, необходимо, чтобы её первая производная $f'(x)$ существовала в окрестности этой точки и сама была дифференцируема в этой точке.

Иными словами, вторая производная существует для так называемых дважды дифференцируемых функций. Это функции, которые можно продифференцировать (найти производную) два раза подряд.

Большинство элементарных функций, таких как многочлены, экспоненциальная функция ($y=e^x$), логарифмические функции (в своей области определения), тригонометрические функции ($y=\sin(x)$, $y=\cos(x)$ и т.д.), являются дважды (и даже бесконечное число раз) дифференцируемыми на всей своей области определения.

Ответ: Вторая производная существует для функций, у которых первая производная также является дифференцируемой функцией.

2. Что собой представляет вторая производная длины пути по времени при прямолинейном и равномерном движении?

Рассмотрим прямолинейное и равномерное движение. "Равномерное" означает, что скорость движения постоянна. "Прямолинейное" означает, что тело движется вдоль прямой.

Зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$ при таком движении описывается линейным уравнением:

$s(t) = s_0 + v \cdot t$

где $s_0$ — начальная координата (путь в момент $t=0$), а $v$ — постоянная скорость.

Первая производная длины пути по времени $s'(t)$ — это мгновенная скорость $v(t)$. Найдем её:

$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(s_0 + v \cdot t) = 0 + v = v$

Как и ожидалось, для равномерного движения мгновенная скорость — это постоянная величина $v$.

Вторая производная длины пути по времени $s''(t)$ — это производная от скорости, то есть мгновенное ускорение $a(t)$. Найдем её:

$a(t) = s''(t) = \frac{d}{dt}(v(t)) = \frac{d}{dt}(v)$

Поскольку скорость $v$ является постоянной величиной (константой), её производная по времени равна нулю:

$s''(t) = 0$

Таким образом, вторая производная пути по времени при прямолинейном и равномерном движении представляет собой ускорение, и оно равно нулю. Это логично, так как при движении с постоянной скоростью ускорение отсутствует.

Ответ: Вторая производная длины пути по времени при прямолинейном и равномерном движении представляет собой ускорение и равна нулю.

46.1. Найдите производные первого и второго порядка для функции

$y = f(x):$

1) $f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x + 1;$

2) $f(x) = 2x^4 - 3x^3 + x - 7;$

3) $f(x) = 5x^4 + 2x^2 - 2x.$

1) Для функции $f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x + 1$ найдем производные первого и второго порядка.

Производная первого порядка, $f'(x)$, находится путем дифференцирования каждого слагаемого функции. Используем правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, правило для константы $(C)'=0$ и для произведения константы на функцию $(Cf(x))' = C f'(x)$.

$f'(x) = (x^4)' + (2x^3)' - (3x)' + (1)' = 4x^{4-1} + 2 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 1x^{1-1} + 0 = 4x^3 + 6x^2 - 3$.

Производная второго порядка, $f''(x)$, является производной от производной первого порядка.

$f''(x) = (f'(x))' = (4x^3 + 6x^2 - 3)' = (4x^3)' + (6x^2)' - (3)' = 4 \cdot 3x^{3-1} + 6 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 12x^2 + 12x$.

Ответ: $f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 3$, $f''(x) = 12x^2 + 12x$.

2) Для функции $f(x) = 2x^4 - 3x^3 + x - 7$ найдем производные первого и второго порядка.

Найдем производную первого порядка $f'(x)$:

$f'(x) = (2x^4)' - (3x^3)' + (x)' - (7)' = 2 \cdot 4x^{4-1} - 3 \cdot 3x^{3-1} + 1 - 0 = 8x^3 - 9x^2 + 1$.

Теперь найдем производную второго порядка $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$:

$f''(x) = (8x^3 - 9x^2 + 1)' = (8x^3)' - (9x^2)' + (1)' = 8 \cdot 3x^{3-1} - 9 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 24x^2 - 18x$.

Ответ: $f'(x) = 8x^3 - 9x^2 + 1$, $f''(x) = 24x^2 - 18x$.

3) Для функции $f(x) = 5x^4 + 2x^2 - 2x$ найдем производные первого и второго порядка.

Найдем производную первого порядка $f'(x)$:

$f'(x) = (5x^4)' + (2x^2)' - (2x)' = 5 \cdot 4x^{4-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} - 2 = 20x^3 + 4x - 2$.

Теперь найдем производную второго порядка $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$:

$f''(x) = (20x^3 + 4x - 2)' = (20x^3)' + (4x)' - (2)' = 20 \cdot 3x^{3-1} + 4 - 0 = 60x^2 + 4$.

Ответ: $f'(x) = 20x^3 + 4x - 2$, $f''(x) = 60x^2 + 4$.