Вопросы, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Для каких функций существует вторая производная?

2. Что собой представляет вторая производная длины пути по времени при прямолинейном и равномерном движении?

1. Для каких функций существует вторая производная?

Вторая производная функции $y = f(x)$ — это производная от её первой производной. Она обозначается как $f''(x)$ или $\frac{d^2y}{dx^2}$.

Для того чтобы у функции $f(x)$ существовала вторая производная в некоторой точке, необходимо, чтобы её первая производная $f'(x)$ существовала в окрестности этой точки и сама была дифференцируема в этой точке.

Иными словами, вторая производная существует для так называемых дважды дифференцируемых функций. Это функции, которые можно продифференцировать (найти производную) два раза подряд.

Большинство элементарных функций, таких как многочлены, экспоненциальная функция ($y=e^x$), логарифмические функции (в своей области определения), тригонометрические функции ($y=\sin(x)$, $y=\cos(x)$ и т.д.), являются дважды (и даже бесконечное число раз) дифференцируемыми на всей своей области определения.

Ответ: Вторая производная существует для функций, у которых первая производная также является дифференцируемой функцией.

2. Что собой представляет вторая производная длины пути по времени при прямолинейном и равномерном движении?

Рассмотрим прямолинейное и равномерное движение. "Равномерное" означает, что скорость движения постоянна. "Прямолинейное" означает, что тело движется вдоль прямой.

Зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$ при таком движении описывается линейным уравнением:

$s(t) = s_0 + v \cdot t$

где $s_0$ — начальная координата (путь в момент $t=0$), а $v$ — постоянная скорость.

Первая производная длины пути по времени $s'(t)$ — это мгновенная скорость $v(t)$. Найдем её:

$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(s_0 + v \cdot t) = 0 + v = v$

Как и ожидалось, для равномерного движения мгновенная скорость — это постоянная величина $v$.

Вторая производная длины пути по времени $s''(t)$ — это производная от скорости, то есть мгновенное ускорение $a(t)$. Найдем её:

$a(t) = s''(t) = \frac{d}{dt}(v(t)) = \frac{d}{dt}(v)$

Поскольку скорость $v$ является постоянной величиной (константой), её производная по времени равна нулю:

$s''(t) = 0$

Таким образом, вторая производная пути по времени при прямолинейном и равномерном движении представляет собой ускорение, и оно равно нулю. Это логично, так как при движении с постоянной скоростью ускорение отсутствует.

Ответ: Вторая производная длины пути по времени при прямолинейном и равномерном движении представляет собой ускорение и равна нулю.