Номер 45.16, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.16. Найдите, при каких значениях $a$ и $b$ функция

$f(x) = \begin{cases} 3x + 1, x < 0, \\ x^3 + ax + b, x \ge 0: \end{cases}$

1) непрерывна в точке $x_0 = 0$;

2) дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

1) непрерывна в точке $x_0 = 0$;

Для того чтобы функция была непрерывна в точке $x_0 = 0$, необходимо и достаточно, чтобы предел функции слева, предел функции справа и значение функции в этой точке были равны: $ \lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^+} f(x) = f(0) $.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$ используется формула $f(x) = 3x + 1$):

$ \lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} (3x + 1) = 3 \cdot 0 + 1 = 1 $.

Найдем правосторонний предел и значение функции в точке $x_0=0$ (при $x \to 0^+$ и при $x=0$ используется формула $f(x) = x^3 + ax + b$):

$ \lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} (x^3 + ax + b) = 0^3 + a \cdot 0 + b = b $.

$ f(0) = 0^3 + a \cdot 0 + b = b $.

Условие непрерывности в точке $x_0 = 0$ выполняется, если левосторонний предел равен правостороннему пределу и значению функции в точке:

$ 1 = b $.

При $b = 1$ условие непрерывности $ \lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^+} f(x) = f(0) $ выполняется. Значение параметра $a$ может быть любым действительным числом, так как оно не влияет на непрерывность функции в точке $x_0 = 0$.

Ответ: $a \in \mathbb{R}, b = 1$.

2) дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке $x_0 = 0$, она должна быть, во-первых, непрерывна в этой точке. Из пункта 1) мы знаем, что для этого необходимо, чтобы $b = 1$.

Во-вторых, производные функции слева и справа в точке $x_0 = 0$ должны существовать и быть равны. Найдем производные для каждой части функции.

Для $x < 0$: $f(x) = 3x + 1$. Производная $f'(x) = (3x + 1)' = 3$.

Для $x > 0$: $f(x) = x^3 + ax + b$. Производная $f'(x) = (x^3 + ax + b)' = 3x^2 + a$.

Теперь найдем односторонние производные в точке $x_0 = 0$, которые равны соответствующим пределам производных.

Левосторонняя производная:

$ f'_-(0) = \lim_{x\to0^-} f'(x) = \lim_{x\to0^-} 3 = 3 $.

Правосторонняя производная:

$ f'_+(0) = \lim_{x\to0^+} f'(x) = \lim_{x\to0^+} (3x^2 + a) = 3 \cdot 0^2 + a = a $.

Для дифференцируемости функции в точке $x_0 = 0$ необходимо, чтобы левосторонняя и правосторонняя производные были равны:

$ f'_-(0) = f'_+(0) $

$ 3 = a $.

Таким образом, функция дифференцируема в точке $x_0 = 0$ при одновременном выполнении двух условий: $b = 1$ (условие непрерывности) и $a = 3$ (условие равенства производных).

Ответ: $a = 3, b = 1$.