Номер 45.14, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.14. Найдите значение производной функции в точке:

1) $f(x) = \arcsin^2 x + x, x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $f(x) = \text{arctg}^2 x + \sqrt{3}, x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3};$

3) $f(x) = x - 2\arccos^2 x, x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $f(x) = \frac{1}{x} - \text{arcctg}^2 x, x_0 = 1.$

ПОВТОРИТЕ

1) f(x) = arcsin²x + x, x₀ = √3/2;

Для нахождения значения производной функции в точке $x_0$, сначала найдем производную функции $f(x)$ в общем виде. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (\arcsin^2 x + x)' = (\arcsin^2 x)' + (x)'$

$(x)' = 1$

$(\arcsin^2 x)' = 2 \arcsin x \cdot (\arcsin x)' = 2 \arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$

Таким образом, производная функции: $f'(x) = \frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} + 1$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2 \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})}{\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} + 1$

Мы знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ и $\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1-\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

$f'(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{3}}{\frac{1}{2}} + 1 = \frac{2\pi}{3} \cdot 2 + 1 = \frac{4\pi}{3} + 1$

Ответ: $1 + \frac{4\pi}{3}$.

2) f(x) = arctg²x + √3, x₀ = √3/3;

Найдем производную функции $f(x)$. Производная константы $\sqrt{3}$ равна нулю. Используем правило дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (\operatorname{arctg}^2 x + \sqrt{3})' = (\operatorname{arctg}^2 x)' + (\sqrt{3})'$

$(\operatorname{arctg}^2 x)' = 2 \operatorname{arctg} x \cdot (\operatorname{arctg} x)' = 2 \operatorname{arctg} x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2 \operatorname{arctg} x}{1+x^2}$

Таким образом, производная функции: $f'(x) = \frac{2 \operatorname{arctg} x}{1+x^2}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})}{1+(\frac{\sqrt{3}}{3})^2}$

Мы знаем, что $\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$ и $1+(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1+\frac{3}{9} = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

$f'(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{\pi}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

3) f(x) = x - 2arccos²x, x₀ = √3/2;

Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x - 2\arccos^2 x)' = (x)' - (2\arccos^2 x)'$

$(x)' = 1$

$(2\arccos^2 x)' = 2 \cdot (\arccos^2 x)' = 2 \cdot 2 \arccos x \cdot (\arccos x)' = 4 \arccos x \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) = -\frac{4 \arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$

Таким образом, производная функции: $f'(x) = 1 - (-\frac{4 \arccos x}{\sqrt{1-x^2}}) = 1 + \frac{4 \arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})}{\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}$

Мы знаем, что $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$ и $\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1-\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

$f'(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 \cdot \frac{\pi}{6}}{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{\frac{2\pi}{3}}{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{2\pi}{3} \cdot 2 = 1 + \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $1 + \frac{4\pi}{3}$.

4) f(x) = 1/x - arcctg²x, x₀ = 1.

Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (\frac{1}{x} - \operatorname{arcctg}^2 x)' = (\frac{1}{x})' - (\operatorname{arcctg}^2 x)'$

$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$

$(\operatorname{arcctg}^2 x)' = 2 \operatorname{arcctg} x \cdot (\operatorname{arcctg} x)' = 2 \operatorname{arcctg} x \cdot (-\frac{1}{1+x^2}) = -\frac{2 \operatorname{arcctg} x}{1+x^2}$

Таким образом, производная функции: $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - (-\frac{2 \operatorname{arcctg} x}{1+x^2}) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2 \operatorname{arcctg} x}{1+x^2}$

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = -\frac{1}{1^2} + \frac{2 \operatorname{arcctg}(1)}{1+1^2}$

Мы знаем, что $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

$f'(1) = -1 + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{4}}{1+1} = -1 + \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = -1 + \frac{\pi}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} - 1$.