Номер 45.8, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.8. Дана функция $f(x) = \frac{(2x - 1)^8}{(x + 1)^5}$. Решите неравенство:

1) $f'(x) > 0;$

2) $f'(x) \ge 0;$

3) $f'(x) < 0;$

4) $f'(x) \le 0.$

1) $f'(x) > 0$

Дана функция $f(x) = \frac{(2x-1)^8}{(x+1)^5}$. Область определения функции: $x \neq -1$.

Найдем первую производную функции $f(x)$ используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = (2x-1)^8$ и $v(x) = (x+1)^5$.

Тогда $u'(x) = 8(2x-1)^7 \cdot (2x-1)' = 16(2x-1)^7$.

$v'(x) = 5(x+1)^4 \cdot (x+1)' = 5(x+1)^4$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{16(2x-1)^7(x+1)^5 - (2x-1)^8 \cdot 5(x+1)^4}{((x+1)^5)^2} = \frac{(2x-1)^7(x+1)^4(16(x+1) - 5(2x-1))}{(x+1)^{10}}$

Упростим выражение в скобках в числителе:

$16(x+1) - 5(2x-1) = 16x + 16 - 10x + 5 = 6x + 21 = 3(2x+7)$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = \frac{(2x-1)^7(x+1)^4 \cdot 3(2x+7)}{(x+1)^{10}} = \frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6} > 0$.

Знаменатель $(x+1)^6$ всегда положителен при $x \neq -1$. Константа $3$ положительна. Следовательно, знак неравенства зависит от знака числителя $(2x-1)^7(2x+7)$.

Так как степень 7 нечетная, знак $(2x-1)^7$ совпадает со знаком $(2x-1)$. Неравенство равносильно следующему:

$(2x-1)(2x+7) > 0$.

Найдем корни выражения: $2x-1=0 \implies x = 1/2$ и $2x+7=0 \implies x = -7/2$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями. Решение неравенства:

$x \in (-\infty, -7/2) \cup (1/2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/2) \cup (1/2, \infty)$.

2) $f'(x) \ge 0$

Используем найденную производную $f'(x) = \frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6}$.

Необходимо решить неравенство $f'(x) \ge 0$.

Это неравенство включает в себя случаи, когда $f'(x) > 0$ и когда $f'(x) = 0$.

Из пункта 1) мы знаем, что $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -7/2) \cup (1/2, \infty)$.

Найдем, при каких значениях $x$ производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$(2x-1)^7(2x+7) = 0$.

Это выполняется при $2x-1=0$ или $2x+7=0$.

Отсюда $x = 1/2$ и $x = -7/2$.

Объединяя решения для $f'(x) > 0$ и $f'(x) = 0$, получаем:

$x \in (-\infty, -7/2] \cup [1/2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/2] \cup [1/2, \infty)$.

3) $f''(x) < 0$

Найдем вторую производную, продифференцировав $f'(x) = \frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6}$.

Пусть $g(x) = 3(2x-1)^7(2x+7)$ и $h(x) = (x+1)^6$.

$g'(x) = 3 \cdot [(16(2x-1)^6)(2x+7) + (2x-1)^7(2)] = 6(2x-1)^6[8(2x+7) + (2x-1)] = 6(2x-1)^6(16x+56+2x-1) = 6(2x-1)^6(18x+55)$.

Проверка расчета g'(x): $g'(x) = 3 \cdot [(7(2x-1)^6 \cdot 2)(2x+7) + (2x-1)^7(2)] = 6(2x-1)^6[7(2x+7) + (2x-1)] = 6(2x-1)^6(14x+49+2x-1) = 6(2x-1)^6(16x+48) = 96(x+3)(2x-1)^6$.

$h'(x) = 6(x+1)^5$.

$f''(x) = \frac{g'h - gh'}{h^2} = \frac{96(x+3)(2x-1)^6(x+1)^6 - 3(2x-1)^7(2x+7) \cdot 6(x+1)^5}{(x+1)^{12}}$

$f''(x) = \frac{6(2x-1)^6(x+1)^5 [16(x+3)(x+1) - 3(2x-1)(2x+7)]}{(x+1)^{12}}$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$16(x^2+4x+3) - 3(4x^2+12x-7) = 16x^2+64x+48 - 12x^2-36x+21 = 4x^2+28x+69$.

Проверим знак этого квадратного трехчлена. Дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac = 28^2 - 4(4)(69) = 784 - 1104 = -320 < 0$. Так как старший коэффициент $4 > 0$, выражение $4x^2+28x+69$ всегда положительно.

Вторая производная имеет вид:

$f''(x) = \frac{6(2x-1)^6(x+1)^5(4x^2+28x+69)}{(x+1)^{12}} = \frac{6(2x-1)^6(4x^2+28x+69)}{(x+1)^7}$.

Решим неравенство $f''(x) < 0$:

$\frac{6(2x-1)^6(4x^2+28x+69)}{(x+1)^7} < 0$.

Знак этого выражения определяется знаком знаменателя $(x+1)^7$, так как множители в числителе $6$, $(2x-1)^6$ (при $x \neq 1/2$) и $(4x^2+28x+69)$ положительны.

Знак $(x+1)^7$ совпадает со знаком $(x+1)$.

Неравенство сводится к $x+1 < 0$, то есть $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

4) $f''(x) \le 0$

Используем найденную вторую производную $f''(x) = \frac{6(2x-1)^6(4x^2+28x+69)}{(x+1)^7}$.

Необходимо решить неравенство $f''(x) \le 0$.

Это неравенство включает случаи, когда $f''(x) < 0$ и когда $f''(x) = 0$.

Из пункта 3) мы знаем, что $f''(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1)$.

Найдем, при каких значениях $x$ вторая производная равна нулю: $f''(x) = 0$.

$\frac{6(2x-1)^6(4x^2+28x+69)}{(x+1)^7} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. Так как $4x^2+28x+69 > 0$, равенство возможно только если $(2x-1)^6 = 0$.

Это выполняется при $2x-1=0$, то есть $x = 1/2$.

Объединяя решения для $f''(x) < 0$ и $f''(x) = 0$, получаем множество решений:

$x \in (-\infty, -1) \cup \{1/2\}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup \{1/2\}$.