Номер 45.2, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.2. 1) $f(x) = (3x - 1)^2;$

3) $f(x) = (2 - 3x)^{-3};$

5) $f(x) = 5x + (1 - 3x)^{-2};$

2) $f(x) = (1 - 2x)^3;$

4) $f(x) = 2 - (1 + 2x)^{-4};$

6) $f(x) = x^2 + (1 + 5x)^{-2}.$

1) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = (3x-1)^2$.

Первообразная функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x)=f(x)$. Общий вид всех первообразных записывается как $F(x)+C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Данная функция является степенной функцией от линейного аргумента, вида $(kx+b)^n$. Для нахождения ее первообразной используется формула: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $k=3$, $b=-1$ и $n=2$. Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = \int (3x-1)^2 dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{2+1}}{2+1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^3}{3} + C = \frac{(3x-1)^3}{9} + C$.

Для проверки правильности результата найдем производную от полученной функции $F(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{(3x-1)^3}{9} + C\right)' = \frac{1}{9} \cdot 3(3x-1)^2 \cdot (3x-1)' = \frac{1}{9} \cdot 3(3x-1)^2 \cdot 3 = (3x-1)^2 = f(x)$.

Производная совпадает с исходной функцией, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = \frac{(3x-1)^3}{9} + C$.

2) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = (1-2x)^3$.

Эта функция также имеет вид $(kx+b)^n$, где $k=-2$, $b=1$ и $n=3$. Применяем ту же формулу для нахождения первообразной:

$\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Подставляем наши значения:

$F(x) = \int (1-2x)^3 dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(1-2x)^{3+1}}{3+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1-2x)^4}{4} + C = -\frac{(1-2x)^4}{8} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(-\frac{(1-2x)^4}{8} + C\right)' = -\frac{1}{8} \cdot 4(1-2x)^3 \cdot (1-2x)' = -\frac{4}{8}(1-2x)^3 \cdot (-2) = \frac{8}{8}(1-2x)^3 = (1-2x)^3 = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = -\frac{(1-2x)^4}{8} + C$.

3) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = (2-3x)^{-3}$.

Функция вида $(kx+b)^n$, где $k=-3$, $b=2$ и $n=-3$. Так как $n \neq -1$, мы можем использовать стандартную формулу:

$\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Подставляем значения:

$F(x) = \int (2-3x)^{-3} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(2-3x)^{-3+1}}{-3+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(2-3x)^{-2}}{-2} + C = \frac{(2-3x)^{-2}}{6} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(\frac{(2-3x)^{-2}}{6} + C\right)' = \frac{1}{6} \cdot (-2)(2-3x)^{-3} \cdot (2-3x)' = -\frac{2}{6}(2-3x)^{-3} \cdot (-3) = \frac{6}{6}(2-3x)^{-3} = (2-3x)^{-3} = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = \frac{(2-3x)^{-2}}{6} + C$.

4) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = 2 - (1+2x)^{-4}$.

Используем правило, что первообразная разности функций равна разности их первообразных: $F(x) = \int (2 - (1+2x)^{-4}) dx = \int 2 dx - \int (1+2x)^{-4} dx$.

1. Первообразная для константы 2: $\int 2 dx = 2x$.

2. Первообразная для $(1+2x)^{-4}$. Это функция вида $(kx+b)^n$, где $k=2$, $b=1$, $n=-4$.

$\int (1+2x)^{-4} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+2x)^{-4+1}}{-4+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1+2x)^{-3}}{-3} = -\frac{(1+2x)^{-3}}{6}$.

Объединяем результаты и добавляем произвольную постоянную $C$:

$F(x) = 2x - \left(-\frac{(1+2x)^{-3}}{6}\right) + C = 2x + \frac{(1+2x)^{-3}}{6} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(2x + \frac{(1+2x)^{-3}}{6} + C\right)' = 2 + \frac{1}{6} \cdot (-3)(1+2x)^{-4} \cdot 2 = 2 - \frac{6}{6}(1+2x)^{-4} = 2 - (1+2x)^{-4} = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = 2x + \frac{(1+2x)^{-3}}{6} + C$.

5) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = 5x + (1-3x)^{-2}$.

Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных: $F(x) = \int (5x + (1-3x)^{-2}) dx = \int 5x dx + \int (1-3x)^{-2} dx$.

1. Первообразная для $5x$: $\int 5x dx = 5\frac{x^2}{2}$.

2. Первообразная для $(1-3x)^{-2}$. Это функция вида $(kx+b)^n$, где $k=-3$, $b=1$, $n=-2$.

$\int (1-3x)^{-2} dx = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(1-3x)^{-2+1}}{-2+1} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(1-3x)^{-1}}{-1} = \frac{(1-3x)^{-1}}{3}$.

Складываем результаты и добавляем постоянную $C$:

$F(x) = \frac{5x^2}{2} + \frac{(1-3x)^{-1}}{3} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(\frac{5x^2}{2} + \frac{(1-3x)^{-1}}{3} + C\right)' = \frac{5 \cdot 2x}{2} + \frac{1}{3} \cdot (-1)(1-3x)^{-2} \cdot (-3) = 5x + (1-3x)^{-2} = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = \frac{5x^2}{2} + \frac{1}{3(1-3x)} + C$.

6) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = x^2 + (1+5x)^{-2}$.

Используем правило суммы: $F(x) = \int (x^2 + (1+5x)^{-2}) dx = \int x^2 dx + \int (1+5x)^{-2} dx$.

1. Первообразная для $x^2$: $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$.

2. Первообразная для $(1+5x)^{-2}$. Это функция вида $(kx+b)^n$, где $k=5$, $b=1$, $n=-2$.

$\int (1+5x)^{-2} dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(1+5x)^{-2+1}}{-2+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(1+5x)^{-1}}{-1} = -\frac{(1+5x)^{-1}}{5}$.

Складываем результаты и добавляем постоянную $C$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{(1+5x)^{-1}}{5} + C$.

Проверка:

$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - \frac{(1+5x)^{-1}}{5} + C\right)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{1}{5} \cdot (-1)(1+5x)^{-2} \cdot 5 = x^2 + (1+5x)^{-2} = f(x)$.

Результат верен.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{5(1+5x)} + C$.