Вопросы, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Приведите пример сложной функции.

2. В каких случаях можно использовать формулу для нахождения производной сложной функции?

3. При каких значениях аргумента $x$ существует производная функций $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=\text{arctg} x$?

1. Сложная функция, или композиция функций, — это функция, аргументом которой, в свою очередь, является другая функция. Если есть две функции, $y=f(u)$ и $u=g(x)$, то сложная функция записывается как $y=f(g(x))$. В этой записи $f(u)$ называется внешней функцией, а $g(x)$ — внутренней. Например, для функции $y = \sqrt{x^2+1}$ внутренняя функция — это $u=g(x)=x^2+1$, а внешняя функция — это $y=f(u)=\sqrt{u}$. Другими примерами могут служить $y = \cos(3x)$, $y = (5x-2)^4$ или $y = \ln(\sin x)$.

Ответ: Примером сложной функции является $y = (2x+1)^3$.

2. Формулу для нахождения производной сложной функции, известную как цепное правило, можно использовать, когда обе составляющие функции (внешняя и внутренняя) являются дифференцируемыми. Пусть дана сложная функция $y = f(g(x))$. Для того чтобы найти ее производную в точке $x_0$, необходимо выполнение двух условий:

1. Внутренняя функция $u=g(x)$ должна быть дифференцируема в точке $x_0$.

2. Внешняя функция $y=f(u)$ должна быть дифференцируема в точке $u_0 = g(x_0)$.

Если эти условия выполнены, то производная сложной функции находится по формуле: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Ответ: Формулу можно использовать, если внутренняя функция дифференцируема в точке $x$, а внешняя функция дифференцируема в соответствующей точке $u=g(x)$.

3. Рассмотрим каждую функцию отдельно, чтобы определить, при каких значениях $x$ существует их производная.

• Для функции $y = \arcsin x$. Ее производная равна $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Эта производная существует, когда выражение под корнем в знаменателе строго больше нуля: $1 - x^2 > 0$. Решая это неравенство, получаем $x^2 < 1$, что эквивалентно $-1 < x < 1$. Таким образом, производная существует для $x \in (-1, 1)$.

• Для функции $y = \arccos x$. Ее производная равна $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$. Условие существования этой производной такое же, как и для арксинуса: $1 - x^2 > 0$. Следовательно, производная существует для $x \in (-1, 1)$.

• Для функции $y = \arctan x$. Ее производная равна $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$. Знаменатель $1+x^2$ всегда строго положителен для любого действительного числа $x$ (поскольку $x^2 \ge 0$, то $1+x^2 \ge 1$). Поэтому производная существует для всех действительных значений $x$.

Ответ: Производная функции $y=\arcsin x$ существует при $x \in (-1, 1)$; производная функции $y=\arccos x$ существует при $x \in (-1, 1)$; производная функции $y=\arctan x$ существует при всех действительных значениях $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.