Задания, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите: $(arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, $-1 < x < 1$; $(arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2}$ $(-\infty < x < \infty)$; $(arcctg x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$, $(-\infty < x < +\infty).$

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, -1 < x < 1$

Для доказательства этой формулы воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции. Пусть $y = \arccos x$. По определению арккосинуса, это означает, что $x = \cos y$, при этом область определения $x \in [-1, 1]$, а область значений $y \in [0, \pi]$.

Производная обратной функции находится по формуле $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$. Найдем производную $x$ по $y$:

$x'(y) = (\cos y)' = -\sin y$.

Тогда производная $y$ по $x$ равна: $(\arccos x)' = \frac{1}{-\sin y} = -\frac{1}{\sin y}$.

Теперь нужно выразить $\sin y$ через $x$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$. Отсюда $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$. Поскольку $x = \cos y$, получаем $\sin^2 y = 1 - x^2$. Следовательно, $\sin y = \pm\sqrt{1 - x^2}$.

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к области значений функции $y = \arccos x$, которая равна $[0, \pi]$. На интервале $(0, \pi)$ (мы исключаем концы, так как в них производная не определена, и знаменатель $\sin y$ обращается в нуль) синус принимает только положительные значения, то есть $\sin y > 0$. Поэтому мы выбираем знак плюс: $\sin y = \sqrt{1-x^2}$.

Подставляя это выражение в формулу для производной, получаем:

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Эта формула верна для $-1 < x < 1$, так как подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Ответ: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

$(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}, -\infty < x < +\infty$

Докажем эту формулу, используя тот же метод. Пусть $y = \operatorname{arctg} x$. По определению арктангенса, это означает, что $x = \operatorname{tg} y$, при этом область определения $x \in (-\infty, +\infty)$, а область значений $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Найдем производную $x$ по $y$, используя формулу производной обратной функции $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$:

$x'(y) = (\operatorname{tg} y)' = 1 + \operatorname{tg}^2 y$.

Тогда производная $y$ по $x$ равна: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 y}$.

Поскольку $x = \operatorname{tg} y$, мы можем подставить $x$ обратно в это выражение:

$(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$.

Знаменатель $1 + x^2$ никогда не равен нулю для любых действительных $x$, поэтому формула верна для всей области определения $x \in (-\infty, +\infty)$.

Ответ: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1 + x^2}$.

$(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}, -\infty < x < +\infty$

Доказательство аналогично предыдущим. Пусть $y = \operatorname{arcctg} x$. По определению арккотангенса, это означает, что $x = \operatorname{ctg} y$, при этом область определения $x \in (-\infty, +\infty)$, а область значений $y \in (0, \pi)$.

Найдем производную $x$ по $y$:

$x'(y) = (\operatorname{ctg} y)' = -(1 + \operatorname{ctg}^2 y)$.

Используем формулу производной обратной функции $y'(x) = \frac{1}{x'(y)}$:

$(\operatorname{arcctg} x)' = \frac{1}{-(1 + \operatorname{ctg}^2 y)} = -\frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 y}$.

Так как $x = \operatorname{ctg} y$, мы заменяем $\operatorname{ctg} y$ на $x$:

$(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$.

Эта формула, как и для арктангенса, верна для всех действительных чисел $x$.

Альтернативный способ доказательства: можно использовать известное тождество $\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2}$. Продифференцировав обе части этого равенства по $x$, получим: $(\operatorname{arctg} x)' + (\operatorname{arcctg} x)' = 0$. Отсюда, используя уже доказанную производную арктангенса, получаем: $(\operatorname{arcctg} x)' = -(\operatorname{arctg} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$.

Ответ: $(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$.