Номер 45.15, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.15. Найдите значения a и b, при которых функция

$f(x) = \begin{cases} 1 - x, & x \geq 0, \\ x^3 + ax + b, & x < 0: \end{cases}$

1) непрерывна в точке $x_0 = 0;$

2) дифференцируема в точке $x_0 = 0.$

1) непрерывна в точке $x_0 = 0$;

Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x_0$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Это означает, что односторонние пределы (слева и справа) должны быть равны друг другу и равны значению функции в самой точке $x_0=0$. То есть, должно выполняться условие: $\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0+} f(x) = f(0)$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. Согласно определению функции, при $x \ge 0$ используется формула $f(x) = 1 - x$.

Следовательно, $f(0) = 1 - 0 = 1$.

Далее, найдем правосторонний предел (когда $x$ стремится к 0 справа, то есть $x > 0$):

$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} (1 - x) = 1 - 0 = 1$.

Теперь найдем левосторонний предел (когда $x$ стремится к 0 слева, то есть $x < 0$):

$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} (x^3 + ax + b) = 0^3 + a \cdot 0 + b = b$.

Чтобы функция была непрерывной в точке $x_0 = 0$, необходимо, чтобы выполнялось равенство: $\lim_{x \to 0-} f(x) = f(0)$.

Подставляя найденные значения, получаем: $b = 1$.

При этом значение параметра $a$ не влияет на непрерывность, так как в левостороннем пределе оно умножается на $x$, которое стремится к нулю. Таким образом, $a$ может быть любым действительным числом.

Ответ: функция непрерывна при $b = 1$ и любом значении $a$.

2) дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

Функция дифференцируема в точке, если она, во-первых, непрерывна в этой точке. Из предыдущего пункта мы знаем, что для этого необходимо выполнение условия $b = 1$.

Во-вторых, для дифференцируемости необходимо, чтобы производные слева и справа в точке $x_0 = 0$ существовали и были равны. Это значит, что $f'_{-}(0) = f'_{+}(0)$.

Найдем производную функции для каждого из интервалов.

При $x > 0$, функция задана как $f(x) = 1 - x$. Ее производная $f'(x) = (1 - x)' = -1$.

Следовательно, правосторонняя производная в точке $0$ равна:

$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0+} (-1) = -1$.

При $x < 0$, функция задана как $f(x) = x^3 + ax + b$. Ее производная $f'(x) = (x^3 + ax + b)' = 3x^2 + a$.

Следовательно, левосторонняя производная в точке $0$ равна:

$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0-} (3x^2 + a) = 3 \cdot 0^2 + a = a$.

Условие дифференцируемости $f'_{-}(0) = f'_{+}(0)$ дает нам уравнение:

$a = -1$.

Таким образом, чтобы функция была дифференцируема в точке $x_0 = 0$, должны выполняться оба условия: $b = 1$ (для непрерывности) и $a = -1$ (для равенства производных).

Ответ: функция дифференцируема при $a = -1$ и $b = 1$.