Номер 46.4, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.4. Найдите $f''(1)$, если:

1) $f(x) = \sqrt{5 - x}$;

2) $f(x) = \sqrt{4 - 2x}$;

3) $f(x) = \sqrt{2x + 3}$;

4) $f(x) = \sqrt{2x^2 - 1}$.

Для нахождения $f''(1)$ необходимо найти вторую производную функции $f(x)$ и затем подставить в нее значение $x=1$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{5-x}$. Для удобства дифференцирования представим ее в степенном виде: $f(x) = (5-x)^{1/2}$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$:

$f'(x) = \frac{1}{2}(5-x)^{1/2-1} \cdot (5-x)' = \frac{1}{2}(5-x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}(5-x)^{-1/2}$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$ как производную от $f'(x)$:

$f''(x) = \left(-\frac{1}{2}(5-x)^{-1/2}\right)' = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(5-x)^{-1/2-1} \cdot (5-x)' = \frac{1}{4}(5-x)^{-3/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{4}(5-x)^{-3/2}$.

Запишем вторую производную в виде дроби: $f''(x) = -\frac{1}{4\sqrt{(5-x)^3}}$.

Подставим $x=1$ в выражение для второй производной:

$f''(1) = -\frac{1}{4}(5-1)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(4)^{-3/2} = -\frac{1}{4 \cdot (\sqrt{4})^3} = -\frac{1}{4 \cdot 2^3} = -\frac{1}{4 \cdot 8} = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $-\frac{1}{32}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{4-2x}$. Представим ее в виде $f(x) = (4-2x)^{1/2}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = \frac{1}{2}(4-2x)^{-1/2} \cdot (4-2x)' = \frac{1}{2}(4-2x)^{-1/2} \cdot (-2) = -(4-2x)^{-1/2}$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = \left(-(4-2x)^{-1/2}\right)' = - \left(-\frac{1}{2}\right)(4-2x)^{-3/2} \cdot (4-2x)' = \frac{1}{2}(4-2x)^{-3/2} \cdot (-2) = -(4-2x)^{-3/2}$.

Запишем вторую производную в виде дроби: $f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{(4-2x)^3}}$.

Подставим $x=1$:

$f''(1) = -(4-2 \cdot 1)^{-3/2} = -(2)^{-3/2} = -\frac{1}{2^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{8}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x+3}$. Представим ее в виде $f(x) = (2x+3)^{1/2}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = \frac{1}{2}(2x+3)^{-1/2} \cdot (2x+3)' = \frac{1}{2}(2x+3)^{-1/2} \cdot 2 = (2x+3)^{-1/2}$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = \left((2x+3)^{-1/2}\right)' = -\frac{1}{2}(2x+3)^{-3/2} \cdot (2x+3)' = -\frac{1}{2}(2x+3)^{-3/2} \cdot 2 = -(2x+3)^{-3/2}$.

Запишем вторую производную в виде дроби: $f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{(2x+3)^3}}$.

Подставим $x=1$:

$f''(1) = -(2 \cdot 1 + 3)^{-3/2} = -(5)^{-3/2} = -\frac{1}{5^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{125}} = -\frac{1}{5\sqrt{5}}$.

Ответ: $-\frac{1}{5\sqrt{5}}$.

4) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x^2-1}$. Представим ее в виде $f(x) = (2x^2-1)^{1/2}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = \frac{1}{2}(2x^2-1)^{-1/2} \cdot (2x^2-1)' = \frac{1}{2}(2x^2-1)^{-1/2} \cdot 4x = 2x(2x^2-1)^{-1/2}$.

Для нахождения второй производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v+uv'$:

$f''(x) = (2x)'(2x^2-1)^{-1/2} + 2x\left((2x^2-1)^{-1/2}\right)' = 2(2x^2-1)^{-1/2} + 2x \left(-\frac{1}{2}(2x^2-1)^{-3/2} \cdot 4x\right)$.

$f''(x) = 2(2x^2-1)^{-1/2} - 4x^2(2x^2-1)^{-3/2}$.

Для упрощения приведем выражение к общему знаменателю:

$f''(x) = \frac{2(2x^2-1)}{(2x^2-1)^{3/2}} - \frac{4x^2}{(2x^2-1)^{3/2}} = \frac{4x^2 - 2 - 4x^2}{(2x^2-1)^{3/2}} = \frac{-2}{(2x^2-1)^{3/2}}$.

Подставим $x=1$:

$f''(1) = \frac{-2}{(2(1)^2-1)^{3/2}} = \frac{-2}{(1)^{3/2}} = \frac{-2}{1} = -2$.

Ответ: $-2$.