Номер 46.8, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.8.

1) $f(x) = \sin^2 2x;$

2) $f(x) = x^2 \sin 2x;$

3) $f(x) = (x^2 - 1)\sin x;$

4) $f(x) = x \cos 2x;$

5) $f(x) = (x + 1)^2 \cos 2x;$

6) $f(x) = x \cos(x^2 + 1).$

1) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin^2(2x)$ необходимо вычислить интеграл $\int \sin^2(2x) dx$.

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к нашей функции, где $\alpha = 2x$:

$\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \cos(4x) dx \right)$.

Вычислим интегралы: $\int 1 dx = x$ и $\int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Подставим результаты обратно:

$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{8}\sin(4x) + C$, где C - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{8}\sin(4x) + C$.

2) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^2\sin(2x)$ необходимо вычислить интеграл $\int x^2\sin(2x) dx$.

Применим метод интегрирования по частям $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = x^2$ и $dv = \sin(2x)dx$. Тогда $du = 2x \, dx$ и $v = \int \sin(2x)dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.

$\int x^2\sin(2x) dx = x^2 \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) (2x \, dx) = -\frac{1}{2}x^2\cos(2x) + \int x\cos(2x) dx$.

К интегралу $\int x\cos(2x) dx$ снова применим интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos(2x)dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\int x\cos(2x) dx = x \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) dx = \frac{1}{2}x\sin(2x) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x)$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\int x^2\sin(2x) dx = -\frac{1}{2}x^2\cos(2x) + \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x^2\right)\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1-2x^2}{4}\cos(2x) + C$.

3) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (x^2 - 1)\sin x$ необходимо вычислить интеграл $\int (x^2 - 1)\sin x \, dx$.

Разобьем интеграл на два: $\int x^2\sin x \, dx - \int \sin x \, dx$.

Второй интеграл равен $\int \sin x \, dx = -\cos x$.

Первый интеграл $\int x^2\sin x \, dx$ вычислим методом интегрирования по частям.

Пусть $u = x^2$ и $dv = \sin x \, dx$. Тогда $du = 2x \, dx$ и $v = -\cos x$.

$\int x^2\sin x \, dx = -x^2\cos x - \int (-\cos x)(2x \, dx) = -x^2\cos x + 2\int x\cos x \, dx$.

Для интеграла $\int x\cos x \, dx$ снова применим интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos x \, dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \sin x$.

$\int x\cos x \, dx = x\sin x - \int \sin x \, dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x$.

Подставляем обратно: $\int x^2\sin x \, dx = -x^2\cos x + 2(x\sin x + \cos x) = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x$.

Теперь объединим все части:

$(-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x) - (-\cos x) + C = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + \cos x + C = (3 - x^2)\cos x + 2x\sin x + C$.

Ответ: $F(x) = (3 - x^2)\cos x + 2x\sin x + C$.

4) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x\cos(2x)$ необходимо вычислить интеграл $\int x\cos(2x) dx$.

Применим метод интегрирования по частям $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos(2x)dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\int x\cos(2x) dx = x \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) dx = \frac{1}{2}x\sin(2x) - \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx$.

Вычислим оставшийся интеграл: $\int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.

Подставляем обратно: $\frac{1}{2}x\sin(2x) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) + C = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$.

5) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (x + 1)^2\cos(2x)$ необходимо вычислить интеграл $\int (x + 1)^2\cos(2x) dx$.

Раскроем скобки: $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

Интеграл примет вид: $\int (x^2 + 2x + 1)\cos(2x) dx = \int x^2\cos(2x)dx + 2\int x\cos(2x)dx + \int \cos(2x)dx$.

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

1. $\int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

2. $2\int x\cos(2x)dx = 2 \left( \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) \right) = x\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)$ (используя результат из пункта 4).

3. $\int x^2\cos(2x)dx$. Применим интегрирование по частям. Пусть $u=x^2, dv=\cos(2x)dx$. Тогда $du=2xdx, v=\frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\int x^2\cos(2x)dx = \frac{1}{2}x^2\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) (2x dx) = \frac{1}{2}x^2\sin(2x) - \int x\sin(2x)dx$.

Для $\int x\sin(2x)dx$ снова по частям: $u=x, dv=\sin(2x)dx \Rightarrow du=dx, v=-\frac{1}{2}\cos(2x)$.

$\int x\sin(2x)dx = -\frac{1}{2}x\cos(2x) - \int (-\frac{1}{2}\cos(2x))dx = -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) = -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x)$.

Тогда $\int x^2\cos(2x)dx = \frac{1}{2}x^2\sin(2x) - \left(-\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x)\right) = \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}\right)\sin(2x) + \frac{1}{2}x\cos(2x)$.

Суммируем все три части:

$F(x) = \left(\left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}\right)\sin(2x) + \frac{1}{2}x\cos(2x)\right) + \left(x\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)\right) + \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.

Группируем слагаемые при $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$:

$F(x) = \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4} + x + \frac{1}{2}\right)\sin(2x) + \left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right)\cos(2x) + C = \left(\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{4}\right)\sin(2x) + \frac{x+1}{2}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2x^2+4x+1}{4}\sin(2x) + \frac{x+1}{2}\cos(2x) + C$.

6) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x\cos(x^2 + 1)$ необходимо вычислить интеграл $\int x\cos(x^2 + 1) dx$.

Применим метод замены переменной (подстановки).

Пусть $u = x^2 + 1$. Тогда дифференциал $du = (x^2 + 1)' dx = 2x \, dx$.

Отсюда выразим $x \, dx = \frac{du}{2}$.

Подставим в интеграл:

$\int \cos(x^2 + 1) (x \, dx) = \int \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) du$.

Интеграл от косинуса: $\frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2}\sin(u) + C$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $u = x^2 + 1$:

$\frac{1}{2}\sin(x^2 + 1) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin(x^2 + 1) + C$.