Номер 46.14, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.14. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону $h(t) = 9t - 2t^2$. Найдите начальную скорость и ускорение тела $(t = 0)$ и максимальную высоту подъема, при которой скорость $v(t) = 0$.

Для решения задачи воспользуемся методами дифференциального исчисления, так как скорость является первой производной от координаты по времени, а ускорение — второй производной.

Найдите начальную скорость и ускорение тела ($t=0$)

Закон движения тела задан уравнением высоты $h(t) = 9t - 2t^2$.

Скорость тела $v(t)$ в любой момент времени $t$ можно найти, взяв первую производную от функции высоты $h(t)$ по времени:

$v(t) = h'(t) = \frac{d}{dt}(9t - 2t^2) = 9 \cdot 1 - 2 \cdot 2t = 9 - 4t$.

Начальная скорость — это скорость тела в момент времени $t=0$. Подставим это значение в уравнение для скорости:

$v(0) = 9 - 4 \cdot 0 = 9$.

Ускорение тела $a(t)$ можно найти, взяв первую производную от функции скорости $v(t)$ по времени (или вторую производную от функции высоты $h(t)$):

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(9 - 4t) = -4$.

Ускорение является постоянной величиной и не зависит от времени. Следовательно, в начальный момент времени $t=0$ ускорение также равно -4. Отрицательный знак означает, что ускорение направлено вниз, противоположно начальному направлению движения.

Ответ: начальная скорость равна 9 ед/с, начальное ускорение равно -4 ед/с².

Найдите максимальную высоту подъема, при которой скорость $v(t)=0$

Тело достигает максимальной высоты подъема в тот момент, когда его мгновенная скорость становится равной нулю. В этой точке тело на мгновение останавливается перед тем, как начать падать вниз.

Найдем время $t_{max}$, в которое скорость обращается в ноль, используя найденное ранее уравнение для скорости:

$v(t) = 9 - 4t = 0$

$4t = 9$

$t_{max} = \frac{9}{4} = 2.25$ с.

Теперь, чтобы найти максимальную высоту подъема $h_{max}$, подставим это значение времени $t_{max}$ в исходное уравнение для высоты $h(t)$:

$h_{max} = h(\frac{9}{4}) = 9 \cdot (\frac{9}{4}) - 2 \cdot (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{4} - 2 \cdot \frac{81}{16} = \frac{81}{4} - \frac{81}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$h_{max} = \frac{81 \cdot 2}{8} - \frac{81}{8} = \frac{162 - 81}{8} = \frac{81}{8} = 10.125$.

Ответ: максимальная высота подъема равна $\frac{81}{8}$ или 10.125 ед. длины.