Номер 46.18, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.18. Для функции $y = f(x)$ найдите вторую производную и постройте график $y = f''(x)$:

1) $f(x) = \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{6}x^3 - 2x^2$;

2) $f(x) = (x^2 + 2) \cdot (x - 1) + \frac{5}{12}x^4$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{6}x^3 - 2x^2$.

Для нахождения второй производной $f''(x)$ сначала найдем первую производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Первая производная:

$f'(x) = \left(\frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{6}x^3 - 2x^2\right)' = \frac{1}{12} \cdot 4x^{4-1} + \frac{1}{6} \cdot 3x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} = \frac{4}{12}x^3 + \frac{3}{6}x^2 - 4x = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 4x$.

Теперь найдем вторую производную, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 4x\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 4 = x^2 + x - 4$.

Для построения графика функции $y = f''(x) = x^2 + x - 4$ определим его основные характеристики. Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный).

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = f''(x_v)$:

$x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$.

$y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 4 = 0.25 - 0.5 - 4 = -4.25$.

Вершина находится в точке $(-0.5; -4.25)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 + 0 - 4 = -4$. Точка пересечения $(0; -4)$.

- С осью OX (при $y=0$): $x^2 + x - 4 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Точки пересечения: $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; 0)$. Приблизительные значения: $(-2.56; 0)$ и $(1.56; 0)$.

График $y = f''(x)$ — это парабола с вершиной в точке $(-0.5; -4.25)$, проходящая через точки $(0; -4)$, $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; 0)$.

Ответ: $f''(x) = x^2 + x - 4$. График функции — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-0.5; -4.25)$.

2) Дана функция $f(x) = (x^2 + 2)(x - 1) + \frac{5}{12}x^4$.

Для удобства дифференцирования сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$f(x) = x^2 \cdot x - x^2 \cdot 1 + 2 \cdot x - 2 \cdot 1 + \frac{5}{12}x^4 = x^3 - x^2 + 2x - 2 + \frac{5}{12}x^4$.

Расположим слагаемые в порядке убывания степеней $x$:

$f(x) = \frac{5}{12}x^4 + x^3 - x^2 + 2x - 2$.

Найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{5}{12}x^4 + x^3 - x^2 + 2x - 2\right)' = \frac{5}{12} \cdot 4x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 - 2x + 2$.

Найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = \left(\frac{5}{3}x^3 + 3x^2 - 2x + 2\right)' = \frac{5}{3} \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 2 = 5x^2 + 6x - 2$.

Для построения графика функции $y = f''(x) = 5x^2 + 6x - 2$ определим его характеристики. Это парабола.

1. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительный).

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 5} = -\frac{6}{10} = -0.6$.

$y_v = 5(-0.6)^2 + 6(-0.6) - 2 = 5(0.36) - 3.6 - 2 = 1.8 - 3.6 - 2 = -3.8$.

Вершина находится в точке $(-0.6; -3.8)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (при $x=0$): $y = 5(0)^2 + 6(0) - 2 = -2$. Точка пересечения $(0; -2)$.

- С осью OX (при $y=0$): $5x^2 + 6x - 2 = 0$. Решим уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 36 + 40 = 76$.

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{19}}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{19}}{5}$.

Точки пересечения: $(\frac{-3 - \sqrt{19}}{5}; 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{19}}{5}; 0)$. Приблизительные значения: $(-1.47; 0)$ и $(0.27; 0)$.

График $y = f''(x)$ — это парабола с вершиной в точке $(-0.6; -3.8)$, проходящая через точки $(0; -2)$, $(\frac{-3 - \sqrt{19}}{5}; 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{19}}{5}; 0)$.

Ответ: $f''(x) = 5x^2 + 6x - 2$. График функции — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-0.6; -3.8)$.