Номер 46.22, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.22. Найдите множество значений функции:

1) $f(x) = \sin 2x - \cos 2x;$

2) $f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x;$

3) $f(x) = 3\sin 2x + 4\cos 2x.$

1) Для нахождения множества значений функции $f(x) = \sin(2x) - \cos(2x)$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin(\theta) + b\cos(\theta)$ можно преобразовать к виду $R\sin(\theta + \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В данном случае $a=1$, $b=-1$. Найдем $R$:

$R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:

$f(x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x)\right)$.

Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим эти значения в выражение:

$f(x) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(2x) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(2x)\right)$.

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, получим:

$f(x) = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$.

Следовательно, умножив все части неравенства на $\sqrt{2}$, получим множество значений для $f(x)$:

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}$.

Таким образом, множество значений функции $E(f)$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Ответ: $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$

2) Для функции $f(x) = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ применим тот же метод. Здесь $a=\sqrt{3}$, $b=-1$.

Найдем $R = \sqrt{a^2+b^2}$:

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Преобразуем функцию:

$f(x) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right)$.

Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, то:

$f(x) = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin x - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos x\right)$.

Применяя формулу синуса разности, получаем:

$f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Так как $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le 1$, то множество значений для $f(x)$ будет:

$-2 \le 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le 2$.

Множество значений функции $E(f)$ — это отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $[-2, 2]$

3) Для функции $f(x) = 3\sin(2x) + 4\cos(2x)$ коэффициенты равны $a=3$, $b=4$.

Найдем $R = \sqrt{a^2+b^2}$:

$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Преобразуем функцию:

$f(x) = 5\left(\frac{3}{5}\sin(2x) + \frac{4}{5}\cos(2x)\right)$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin\alpha = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.

Тогда выражение принимает вид:

$f(x) = 5\left(\cos\alpha\sin(2x) + \sin\alpha\cos(2x)\right)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$f(x) = 5\sin(2x + \alpha)$.

Множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le \sin(2x + \alpha) \le 1$.

Следовательно, множество значений для $f(x)$:

$-5 \le 5\sin(2x + \alpha) \le 5$.

Множество значений функции $E(f)$ — это отрезок $[-5, 5]$.

Ответ: $[-5, 5]$