Номер 46.21, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.21. Решите неравенство $f'(x) < 0$:

1) $f(x) = x^3 - 3x;$

2) $f(x) = x^2 - x^3;$

3) $f(x) = \sin 2x - x;$

4) $f(x) = -4\cos x + 2x.$

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 3 < 0$

$3(x^2 - 1) < 0$

$x^2 - 1 < 0$

$(x - 1)(x + 1) < 0$

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 1 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

2) Дана функция $f(x) = x^2 - x^3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x - 3x^2 < 0$

$x(2 - 3x) < 0$

Корни соответствующего уравнения $x(2 - 3x) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/3$.

Графиком функции $y = 2x - 3x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Значения функции отрицательны за пределами корней.

Следовательно, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 2/3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2/3, \infty)$.

3) Дана функция $f(x) = \sin(2x) - x$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sin(2x) - x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - 1 = 2\cos(2x) - 1$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2\cos(2x) - 1 < 0$

$2\cos(2x) < 1$

$\cos(2x) < 1/2$

Для решения этого тригонометрического неравенства введем замену $t = 2x$. Получим $\cos(t) < 1/2$.

Решениями уравнения $\cos(t) = 1/2$ являются $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\cos(t) < 1/2$ выполняется для $t$ в интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $f(x) = -4\cos(x) + 2x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-4\cos(x) + 2x)' = -4(-\sin x) + 2 = 4\sin(x) + 2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$4\sin(x) + 2 < 0$

$4\sin(x) < -2$

$\sin(x) < -1/2$

Решениями уравнения $\sin(x) = -1/2$ являются $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\sin(x) < -1/2$ выполняется, когда угол $x$ находится в интервале между $-\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$ (с учетом периодичности).

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.