Номер 46.15, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.15. Найдите производную второго порядка:

1) $f(x) = \frac{1}{4}(3 - x) \cdot x^2 - 3x;$

2) $f(x) = \frac{x}{9} \cdot \sin3x.$

46.16. Проверьте, что функция:

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}(3-x) \cdot x^2 - 3x$.

Для нахождения производной второго порядка, сначала найдем первую производную. Предварительно упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$f(x) = \frac{1}{4}(3x^2 - x^3) - 3x = \frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^3 - 3x$.

Теперь найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^3 - 3x)' = \frac{3}{4} \cdot (x^2)' - \frac{1}{4} \cdot (x^3)' - (3x)'$

$f'(x) = \frac{3}{4} \cdot 2x - \frac{1}{4} \cdot 3x^2 - 3 = \frac{6}{4}x - \frac{3}{4}x^2 - 3 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{4}x^2 - 3$.

Далее найдем вторую производную $f''(x)$, которая является производной от первой производной $f'(x)$:

$f''(x) = (\frac{3}{2}x - \frac{3}{4}x^2 - 3)' = (\frac{3}{2}x)' - (\frac{3}{4}x^2)' - (3)'$

$f''(x) = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} \cdot 2x - 0 = \frac{3}{2} - \frac{6}{4}x = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}x$.

Ответ: $f''(x) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}x$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x}{9} \sin(3x)$.

Для нахождения первой производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим $u(x) = \frac{x}{9}$ и $v(x) = \sin(3x)$.

Находим производные этих функций: $u'(x) = (\frac{x}{9})' = \frac{1}{9}$ и $v'(x) = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

Первая производная $f'(x)$ равна:

$f'(x) = u'v + uv' = \frac{1}{9}\sin(3x) + \frac{x}{9} \cdot 3\cos(3x) = \frac{1}{9}\sin(3x) + \frac{x}{3}\cos(3x)$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$. Это производная суммы, поэтому дифференцируем каждое слагаемое отдельно:

$f''(x) = (\frac{1}{9}\sin(3x) + \frac{x}{3}\cos(3x))' = (\frac{1}{9}\sin(3x))' + (\frac{x}{3}\cos(3x))'$.

Производная первого слагаемого:

$(\frac{1}{9}\sin(3x))' = \frac{1}{9} \cdot (\sin(3x))' = \frac{1}{9} \cdot 3\cos(3x) = \frac{1}{3}\cos(3x)$.

Для нахождения производной второго слагаемого $(\frac{x}{3}\cos(3x))'$ снова применяем правило произведения. Пусть $u_1(x) = \frac{x}{3}$ и $v_1(x) = \cos(3x)$.

Их производные: $u_1'(x) = \frac{1}{3}$ и $v_1'(x) = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Производная второго слагаемого равна:

$(\frac{x}{3}\cos(3x))' = u_1'v_1 + u_1v_1' = \frac{1}{3}\cos(3x) + \frac{x}{3}(-3\sin(3x)) = \frac{1}{3}\cos(3x) - x\sin(3x)$.

Теперь сложим производные обоих слагаемых, чтобы получить $f''(x)$:

$f''(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) + \left(\frac{1}{3}\cos(3x) - x\sin(3x)\right) = \frac{2}{3}\cos(3x) - x\sin(3x)$.

Ответ: $f''(x) = \frac{2}{3}\cos(3x) - x\sin(3x)$.