Номер 46.6, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.6. 1) $f(x) = \sqrt{x}$;

2) $f(x) = \sqrt{2x}$;

3) $f(x) = \sqrt{-x}$;

4) $f(x) = x\sqrt{x}$;

5) $f(x) = x-\sqrt{x}$;

6) $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x}$.

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = \sqrt{x}$, представим ее в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/2}$. Далее воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{2x}$ применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя $u(x) = 2x$. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции: $f'(x) = g'(u) \cdot u'(x)$.

$g'(u) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

$u'(x) = (2x)' = 2$.

Подставляем обратно $u = 2x$ и получаем:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{-x}$ также используем правило производной сложной функции. Внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, внутренняя $u(x) = -x$.

$g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

$u'(x) = (-x)' = -1$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$.

4) Для функции $f(x) = x\sqrt{x}$ сначала преобразуем выражение, используя свойства степеней:

$f(x) = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.

Теперь применим формулу производной степенной функции:

$f'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{3/2-1} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

5) Для функции $f(x) = x - \sqrt{x}$ используем правило производной разности двух функций: $(u-v)' = u' - v'$.

$f'(x) = (x)' - (\sqrt{x})'$.

Мы знаем, что $(x)'=1$ и $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Следовательно, $f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

6) Для функции $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x}$ применяем правило производной разности и правило вынесения константы за знак производной:

$f'(x) = (x^2)' - (2\sqrt{x})' = (x^2)' - 2(\sqrt{x})'$.

Производная от $x^2$ равна $2x$, а производная от $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = 2x - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.