Страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

10.17.Найдите значение выражения:

1) $cos(\alpha + \beta)$, если $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}$ и $\alpha - \beta = \frac{7\pi}{2};$

2) $cos(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{4};$ $\alpha + \beta = \frac{5\pi}{2};$

3) $\sqrt{2} cos(\alpha - \beta)$, если $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{3};$ $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}.$

1) Для решения задачи используем формулы сложения для косинуса:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$

Из условия нам дано, что $\alpha - \beta = \frac{7\pi}{2}$. Найдем значение $cos(\alpha - \beta)$:

$cos(\alpha - \beta) = cos(\frac{7\pi}{2}) = cos(3\pi + \frac{\pi}{2}) = cos(\pi + \frac{\pi}{2}) = -cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Теперь подставим это значение и данное значение $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}$ в формулу косинуса разности:

$0 = cos\alpha cos\beta + \frac{1}{2}$

Отсюда находим $cos\alpha cos\beta$:

$cos\alpha cos\beta = -\frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти значение $cos(\alpha + \beta)$, подставив известные величины в формулу косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

Ответ: -1.

2) Используем те же формулы сложения для косинуса.

Из условия нам дано, что $\alpha + \beta = \frac{5\pi}{2}$. Найдем значение $cos(\alpha + \beta)$:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\frac{5\pi}{2}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Подставим это значение и данное значение $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{4}$ в формулу косинуса суммы:

$0 = cos\alpha cos\beta - \frac{1}{4}$

Отсюда находим $cos\alpha cos\beta$:

$cos\alpha cos\beta = \frac{1}{4}$

Теперь мы можем найти искомое значение $cos(\alpha - \beta)$, подставив известные величины в формулу косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Снова используем формулы сложения для косинуса.

Из условия нам дано, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$. Найдем значение $cos(\alpha + \beta)$:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Подставим это значение и данное значение $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{3}$ в формулу косинуса суммы:

$0 = \frac{1}{3} - sin\alpha sin\beta$

Отсюда находим $sin\alpha sin\beta$:

$sin\alpha sin\beta = \frac{1}{3}$

Теперь найдем значение $cos(\alpha - \beta)$, подставив известные величины в формулу косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Наконец, найдем значение искомого выражения $\sqrt{2}cos(\alpha - \beta)$:

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

1. Сколько точек экстремума имеет функция, график которой изображен на рисунке 10.4:

А) 3; В) 4; С) 2; D) 1?

1. Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать график функции, упомянутый как "рисунок 10.4". Так как сам рисунок отсутствует, мы не можем дать точный ответ. Однако мы можем объяснить, как найти точки экстремума по графику функции.

Точки экстремума функции — это точки, в которых функция достигает своего локального максимума или локального минимума. На графике они выглядят как "вершины" и "впадины".

• Точка локального максимума — это точка, в которой функция меняет свое поведение с возрастания на убывание. Визуально это вершина "холма" на графике.
• Точка локального минимума — это точка, в которой функция меняет свое поведение с убывания на возрастание. Визуально это дно "впадины" на графике.

Чтобы определить количество точек экстремума, нужно посчитать общее количество всех локальных максимумов и минимумов (всех "вершин" и "впадин") на графике.

Давайте предположим, как мог бы выглядеть гипотетический график для этой задачи. Если бы на графике было, например, две точки максимума (две вершины) и одна точка минимума (одна впадина), то общее количество точек экстремума было бы $2 + 1 = 3$. Аналогично, если бы была одна точка максимума и две точки минимума, их общее количество также было бы равно трем.

Исходя из такого предположения, наиболее вероятным ответом из предложенных является 3.

Ответ: Поскольку график не представлен, дать однозначный ответ невозможно. Однако, если предположить, что на графике было 3 точки экстремума, то правильный вариант ответа — А) 3.

2. Найдите экстремумы функции, график которой изображен на рисунке 10.4:

A) $y_{max} = 1, y_{min} = 3;$

B) $y_{max} = 3, y_{min} = -1;$

C) $y_{max} = 1, y_{min} = -1$ и $y_{min} = 3;$

D) $y_{max} = 1, y_{min} = 3.$

Для нахождения экстремумов функции необходимо определить значения в точках локального максимума ($y_{max}$) и локального минимума ($y_{min}$) на её графике. Локальный максимум — это значение функции на "пике" графика, а локальный минимум — значение на "впадине". Поскольку сам график (рисунок 10.4) не предоставлен, проанализируем предложенные варианты ответа, чтобы найти единственно верный с математической точки зрения.

Ключевое условие для экстремумов: значение локального максимума всегда должно быть больше значения локального минимума, то есть $y_{max} > y_{min}$.

Проверим каждый вариант ответа на соответствие этому условию:

A) $y_{max} = 1, y_{min} = 3$

Этот вариант неверен, так как значение максимума ($1$) меньше значения минимума ($3$), что противоречит определению.

B) $y_{max} = 3, y_{min} = -1$

Этот вариант является математически корректным, так как $3 > -1$. Такой набор экстремумов возможен. График функции в этом случае должен иметь "пики" на высоте $y=3$ и "впадины" на глубине $y=-1$. Это типичный случай для подобных задач.

C) $y_{max} = 1, y_{min} = -1$ и $y_{min} = 3$

Этот вариант содержит внутреннее противоречие. Если максимум функции равен $1$, то в ней не может быть минимума, равного $3$, поскольку $3 > 1$.

D) $y_{max} = 1, y_{min} = 3$

Этот вариант идентичен варианту A и также неверен по той же причине ($1 < 3$).

Таким образом, единственным логически и математически верным вариантом является вариант B.

Ответ: B) $y_{max} = 3, y_{min} = -1$.

3. Найдите промежутки возрастания функции, график которой изображен на рисунке 10.4:

A) $[-1; 1], [3; +\infty)$

B) $[-1; 0], [3; +\infty)$

C) $(-\infty; -1], [0; 3]$

D) $(-\infty; -1], [1; 3]$

Промежутком возрастания функции называется такой промежуток, на котором для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Визуально это означает, что на этом промежутке график функции "идет вверх" при движении по оси абсцисс слева направо.

Для того чтобы найти промежутки возрастания по графику, изображенному на рисунке 10.4, необходимо определить интервалы оси $x$, на которых график поднимается. Точки, в которых направление движения графика меняется с подъема на спуск (точки локального максимума) или со спуска на подъем (точки локального минимума), являются границами этих промежутков.

Рассмотрим график, представленный на рисунке 10.4. Мы можем определить следующие характеристики поведения функции:

1. Начиная с $-\infty$ и до $x = -1$, график функции поднимается. Это означает, что функция возрастает. В точке $x = -1$ достигается локальный максимум. Следовательно, первый промежуток возрастания — это $(-\infty; -1]$.

2. В интервале от $x = -1$ до $x = 1$ график опускается, что указывает на убывание функции. В точке $x = 1$ находится локальный минимум.

3. Начиная от $x = 1$ и до $x = 3$, график снова поднимается. Это второй промежуток возрастания функции. В точке $x = 3$ достигается еще один локальный максимум. Следовательно, второй промежуток возрастания — это $[1; 3]$.

4. При значениях $x$ больше $3$, график снова опускается, то есть функция убывает на промежутке $[3; +\infty)$.

Таким образом, объединяя найденные участки, мы получаем, что функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; 3]$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом D.

Ответ: D) $(-\infty, -1], [1; 3]$.

4. Найдите промежутки убывания функции, график которой изображен на рисунке 10.4:

А) $ [-5; -3]$, $[-1; 1]$, $[3; 5]; $

В) $ [-1; 0]$, $[3; +\infty); $

С) $ (-\infty; -1]$, $[0; 3]. $

D) $ (-\infty; -1]$, $[1; 3]. $

Рис. 10.4

Промежутки убывания функции — это такие промежутки по оси $x$, на которых при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается. Визуально на графике это соответствует участкам, где линия графика идет вниз при движении слева направо.

Проанализируем график, представленный на рисунке:

1. При движении по оси $x$ от $-\infty$ до точки $x = -1$, график функции опускается вниз. Это означает, что на промежутке $(-\infty; -1]$ функция убывает.

2. На отрезке от $x = -1$ до $x = 1$ график поднимается вверх, следовательно, функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$. Точка $x = -1$ является точкой локального минимума.

3. На отрезке от $x = 1$ до $x = 3$ график снова опускается вниз. Это означает, что на промежутке $[1; 3]$ функция убывает. Точка $x = 1$ является точкой локального максимума.

4. При $x$ от $3$ до $+\infty$ график идет вверх, то есть функция возрастает на промежутке $[3; +\infty)$. Точка $x = 3$ является еще одной точкой локального минимума.

Таким образом, мы нашли два промежутка убывания функции: $(-\infty; -1]$ и $[1; 3]$.

Теперь сравним наш результат с предложенными вариантами ответов:

A) $[-5; -3]$, $[-1; 1]$, $[3; 5]$; — Неверно, так как на промежутке $[-1; 1]$ функция возрастает.

B) $[-1; 0]$, $[3; +\infty)$; — Неверно, так как на этих промежутках функция возрастает.

C) $(-\infty; -1]$, $[0; 3]$; — Неверно. Хотя первый промежуток указан правильно, второй промежуток $[0; 3]$ включает в себя как участок возрастания $[0; 1]$, так и участок убывания $[1; 3]$.

D) $(-\infty; -1]$, $[1; 3]$; — Верно. Этот вариант полностью совпадает с найденными промежутками убывания.

Ответ: D

5. Составьте сложную функцию $f(g(x))$, если

$f(x) = x^2-3x, g(x) = 2x-3:$

A) $f(g(x)) = (2x-3)^2 - 3(2x-3);$

B) $f(g(x)) = (2x-3)^2 + 3(2x-3);$

C) $f(g(x)) = (2x-3)^2 - (2x-3);$

D) $f(g(x)) = (2x-3)^2 + (2x-3).$

Чтобы составить сложную функцию $f(g(x))$, необходимо в выражение для функции $f(x)$ вместо каждого аргумента $x$ подставить выражение для функции $g(x)$.

Даны функции: $f(x) = x^2 - 3x$ и $g(x) = 2x - 3$.

Выполним подстановку $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = (g(x))^2 - 3(g(x))$

Теперь заменим $g(x)$ на его определение, то есть на $2x - 3$:

$f(g(x)) = (2x - 3)^2 - 3(2x - 3)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом A.

Ответ: A

44.13. Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график:

1) $f(x) = \begin{cases} x + 3, & x \le 0 \\ x^2 - 1, & 0 < x \le 3 \\ 8, & x > 3 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 3 - x, & x \le 1 \\ x^2 + 1, & 1 < x \le 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ 2x + 1, & 0 < x \le 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$

1) $f(x) = \begin{cases} x + 3, & x \le 0 \\ x^2 - 1, & 0 < x \le 3 \\ 8, & x > 3 \end{cases}$

Функция определена на всей числовой оси. Она состоит из трех частей, каждая из которых является элементарной функцией (линейной, квадратичной, постоянной) и непрерывна на своем интервале определения. Поэтому разрывы могут быть только в точках, где меняется аналитическое выражение функции, то есть в точках $x=0$ и $x=3$.

Исследуем непрерывность в точке $x=0$:

Найдем односторонние пределы:

Левый предел: $\lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} (x+3) = 0+3 = 3$.

Правый предел: $\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} (x^2-1) = 0^2-1 = -1$.

Так как левый и правый пределы не равны ($3 \ne -1$), функция терпит разрыв в точке $x=0$.

Значение функции в точке $x=0$: $f(0) = 0+3=3$.

Поскольку односторонние пределы существуют, но не равны, в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|3 - (-1)| = 4$.

Исследуем непрерывность в точке $x=3$:

Найдем односторонние пределы:

Левый предел: $\lim_{x\to3^-} f(x) = \lim_{x\to3^-} (x^2-1) = 3^2-1 = 9-1=8$.

Правый предел: $\lim_{x\to3^+} f(x) = \lim_{x\to3^+} (8) = 8$.

Значение функции в точке $x=3$: $f(3) = 3^2-1 = 8$.

Так как $\lim_{x\to3^-} f(x) = \lim_{x\to3^+} f(x) = f(3) = 8$, функция непрерывна в точке $x=3$.

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график прямой $y=x+3$. Это луч, проходящий через точки $(-3, 0)$ и $(0, 3)$. Точка $(0, 3)$ включена.

2. На промежутке $(0, 3]$ строим график параболы $y=x^2-1$. Ветви вверх, вершина в $(0, -1)$. Точка $(0, -1)$ выколота. Точка $(3, 8)$ включена.

3. На промежутке $(3, \infty)$ строим график прямой $y=8$. Это луч, параллельный оси Ох, начинающийся из точки $(3, 8)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки $x=0$, где она имеет разрыв первого рода (скачок).

2) $f(x) = \begin{cases} 3 - x, & x \le 1 \\ x^2 + 1, & 1 < x \le 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$

Функция определена на всей числовой оси. Возможные точки разрыва: $x=1$ и $x=2$.

Исследуем непрерывность в точке $x=1$:

Левый предел: $\lim_{x\to1^-} f(x) = \lim_{x\to1^-} (3-x) = 3-1 = 2$.

Правый предел: $\lim_{x\to1^+} f(x) = \lim_{x\to1^+} (x^2+1) = 1^2+1 = 2$.

Значение функции: $f(1) = 3-1 = 2$.

Так как $\lim_{x\to1^-} f(x) = \lim_{x\to1^+} f(x) = f(1) = 2$, функция непрерывна в точке $x=1$.

Исследуем непрерывность в точке $x=2$:

Левый предел: $\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^-} (x^2+1) = 2^2+1 = 5$.

Правый предел: $\lim_{x\to2^+} f(x) = \lim_{x\to2^+} (5) = 5$.

Значение функции: $f(2) = 2^2+1 = 5$.

Так как $\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^+} f(x) = f(2) = 5$, функция непрерывна в точке $x=2$.

Поскольку функция непрерывна в точках $x=1$ и $x=2$ и на составляющих интервалах, она непрерывна на всей числовой оси.

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ строим график прямой $y=3-x$. Это луч, проходящий через точки $(0, 3)$ и $(1, 2)$. Точка $(1, 2)$ включена.

2. На промежутке $(1, 2]$ строим график параболы $y=x^2+1$. Ветви вверх, вершина в $(0, 1)$. График проходит через точки $(1, 2)$ и $(2, 5)$. Точка $(1, 2)$ выколота, но совпадает с конечной точкой предыдущего участка. Точка $(2, 5)$ включена.

3. На промежутке $(2, \infty)$ строим график прямой $y=5$. Это луч, параллельный оси Ох, начинающийся из точки $(2, 5)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.

3) $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ 2x+1, & 0 < x \le 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$

Функция определена на всей числовой оси. Возможные точки разрыва: $x=0$ и $x=2$.

Исследуем непрерывность в точке $x=0$:

Левый предел: $\lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} (x^2) = 0^2 = 0$.

Правый предел: $\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} (2x+1) = 2(0)+1 = 1$.

Так как левый и правый пределы не равны ($0 \ne 1$), функция терпит разрыв в точке $x=0$.

Значение функции: $f(0) = 0^2 = 0$.

В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|1 - 0| = 1$.

Исследуем непрерывность в точке $x=2$:

Левый предел: $\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^-} (2x+1) = 2(2)+1 = 5$.

Правый предел: $\lim_{x\to2^+} f(x) = \lim_{x\to2^+} (5) = 5$.

Значение функции: $f(2) = 2(2)+1 = 5$.

Так как $\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^+} f(x) = f(2) = 5$, функция непрерывна в точке $x=2$.

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график параболы $y=x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$. Точка $(0, 0)$ включена.

2. На промежутке $(0, 2]$ строим график прямой $y=2x+1$. Это отрезок с концами в точках $(0, 1)$ и $(2, 5)$. Точка $(0, 1)$ выколота, точка $(2, 5)$ включена.

3. На промежутке $(2, \infty)$ строим график прямой $y=5$. Это луч, параллельный оси Ох, начинающийся из точки $(2, 5)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки $x=0$, где она имеет разрыв первого рода (скачок).