Страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Для каждой ли функции можно составить обратную функцию?

Какими (возрастающими или убывающими) являются графики взаимно-обратных функций $y = x^2$, где $x \ge 0$, и $y = \sqrt{x}$?

Постройте график функции $y = 4 - 2x$ и график обратной для нее функции. Являются ли эти функции убывающими?

Для каждой ли функции можно составить обратную функцию?

Нет, обратную функцию можно составить не для каждой функции. Для существования обратной функции необходимо и достаточно, чтобы исходная функция была обратимой. Это означает, что каждому значению функции $y$ из ее области значений должно соответствовать только одно значение аргумента $x$ из области определения. Такие функции называются взаимно-однозначными.

Например, для функции $y = x^2$, определенной на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$), обратную функцию составить нельзя. Разным значениям аргумента, например $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$, соответствует одно и то же значение функции $y = 4$. Поэтому, зная $y=4$, невозможно однозначно определить $x$.

Чтобы функция была обратимой, она должна быть строго монотонной на всей своей области определения, то есть либо строго возрастающей, либо строго убывающей.

Ответ: Нет, обратную функцию можно составить только для обратимых (взаимно-однозначных) функций.

Какими (возрастающими или убывающими) являются графики взаимно-обратных функций $y = x^2$, где $x \ge 0$, и $y = \sqrt{x}$?

Рассмотрим функцию $y = x^2$ на промежутке $x \ge 0$. Чтобы определить, является ли она возрастающей или убывающей, возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из области определения, такие что $0 \le x_1 < x_2$. Найдем соответствующие значения функции: $y_1 = x_1^2$ и $y_2 = x_2^2$. Сравним их: $y_2 - y_1 = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)$. Так как $x_1 < x_2$, то $x_2 - x_1 > 0$. Так как $x_1 \ge 0$ и $x_2 > 0$, то $x_2 + x_1 > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $y_2 - y_1 > 0$, что означает $y_2 > y_1$. Таким образом, функция $y = x^2$ при $x \ge 0$ является возрастающей.

Теперь рассмотрим обратную ей функцию $y = \sqrt{x}$. Ее область определения $x \ge 0$. Возьмем два произвольных значения $x_1$ и $x_2$ из этой области, такие что $0 \le x_1 < x_2$. Соответствующие значения функции: $y_1 = \sqrt{x_1}$ и $y_2 = \sqrt{x_2}$. Так как для неотрицательных чисел из $x_1 < x_2$ следует $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$, то $y_1 < y_2$. Следовательно, функция $y = \sqrt{x}$ также является возрастающей.

Ответ: Обе функции являются возрастающими.

Постройте график функции $y = 4 - 2x$ и график обратной для нее функции. Являются ли эти функции убывающими?

1. Исходная функция $y = 4 - 2x$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, функция является убывающей. Для построения графика достаточно найти две точки. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = 4 - 2 \cdot 0 = 4$. Точка (0, 4).
• При $y = 0$, $0 = 4 - 2x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. Точка (2, 0).

График функции — это прямая, проходящая через точки (0, 4) и (2, 0).

2. Обратная функция.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$ в уравнении $y = 4 - 2x$:

$2x = 4 - y$

$x = \frac{4 - y}{2}$

$x = 2 - \frac{1}{2}y$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить стандартный вид функции: $y = 2 - \frac{1}{2}x$.

Обратная функция: $y = -\frac{1}{2}x + 2$.

3. График обратной функции $y = -\frac{1}{2}x + 2$.

Это также линейная функция с коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. Так как $k < 0$, эта функция тоже является убывающей. Для построения графика найдем две точки:

• При $x = 0$, $y = 2 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 2$. Точка (0, 2).
• При $y = 0$, $0 = 2 - \frac{1}{2}x \Rightarrow \frac{1}{2}x = 2 \Rightarrow x = 4$. Точка (4, 0).

График обратной функции — это прямая, проходящая через точки (0, 2) и (4, 0). Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

4. Вывод.

Обе функции, $y = 4 - 2x$ и $y = -\frac{1}{2}x + 2$, являются линейными с отрицательными угловыми коэффициентами ($-2$ и $-0.5$ соответственно), следовательно, обе функции являются убывающими на всей области определения.

Ответ: Да, обе функции являются убывающими.

1. Назовите область определения и множество значений функции, которая обратна функции с областью определения $(-\infty 5] \cup (6; +\infty)$ и множеством значений $(-\infty +\infty)$.

2. Являются ли функции $y = 0.5x + 2$ и $y = 2x - 4$ взаимно-обратными?

3. Имеет ли функция обратную функцию, если она не является монотонной (рис. 10.2)?

4. Почему для монотонной функции всегда есть обратная функция?

Рис. 10.2

1. Для взаимно-обратных функций область определения одной функции является множеством значений другой, и наоборот. Пусть исходная функция — это $f(x)$, а обратная ей — $g(x)$.

По условию, область определения исходной функции $D(f) = (-\infty; 5] \cup (6; +\infty)$, а множество ее значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Для обратной функции $g(x)$ область определения $D(g)$ равна множеству значений $E(f)$, а множество значений $E(g)$ равно области определения $D(f)$.

Таким образом, для функции, обратной данной, получаем:

Область определения: $(-\infty; +\infty)$.

Множество значений: $(-\infty; 5] \cup (6; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; множество значений: $(-\infty; 5] \cup (6; +\infty)$.

2. Чтобы проверить, являются ли функции взаимно-обратными, найдем функцию, обратную для $y = 0,5x + 2$. Для этого выразим $x$ через $y$:

$y - 2 = 0,5x$

$x = \frac{y - 2}{0,5}$

$x = 2(y - 2)$

$x = 2y - 4$

Теперь для получения обратной функции поменяем местами переменные $x$ и $y$:

$y = 2x - 4$

Полученное выражение совпадает со второй данной функцией. Следовательно, функции являются взаимно-обратными.

Ответ: Да, являются.

3. Функция имеет обратную только в том случае, если она каждому своему значению из множества значений ставит в соответствие единственное значение аргумента из области определения. На графике (рис. 10.2) изображена немонотонная функция. Мы видим, что существуют такие значения аргумента $x_1$ и $x_2$ ($x_1 \neq x_2$), для которых значения функции совпадают: $f(x_1) = f(x_2) = y_0$.

Поскольку одному значению функции $y_0$ соответствуют два разных значения аргумента, условие для существования обратной функции не выполняется. Таким образом, у данной функции нет обратной на всей области определения.

Ответ: Нет, не имеет.

4. Монотонная функция (строго возрастающая или строго убывающая) является обратимой, то есть каждому значению из множества значений соответствует ровно одно значение из области определения.

Рассмотрим строго возрастающую функцию $f(x)$. Если взять два любых различных значения аргумента $x_1$ и $x_2$, например, $x_1 < x_2$, то по определению строгого возрастания $f(x_1) < f(x_2)$. Следовательно, $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Аналогично для строго убывающей функции: если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$, и снова $f(x_1) \neq f(x_2)$.

Таким образом, для любой монотонной функции разным значениям аргумента всегда соответствуют разные значения функции. Это и есть условие, необходимое и достаточное для существования обратной функции.

Ответ: Потому что монотонная функция каждому значению из множества значений ставит в соответствие ровно одно значение из области определения, что является условием существования обратной функции.

10.1. К заданной функции $f(x)$ найдите обратную функцию и постройте их графики в одной координатной плоскости:

1) $y = 3x - 7;$

2) $y = 2 - 3x;$

3) $y = 2x + 1;$

4) $y = 3 - 2x.$

1) Дана функция $f(x) = 3x - 7$.

Для нахождения обратной функции $g(x)$ необходимо в уравнении $y = 3x - 7$ выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Или, что то же самое, сначала поменять переменные $x$ и $y$ местами, а затем выразить $y$.

$x = 3y - 7$

$3y = x + 7$

$y = \frac{x + 7}{3}$

Следовательно, обратная функция: $g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.

Для построения графиков исходной и обратной функций, которые являются прямыми, найдём по две точки для каждой.

Для графика $y = 3x - 7$:

- при $x=2$, $y = 3 \cdot 2 - 7 = -1$. Точка $(2, -1)$.

- при $x=3$, $y = 3 \cdot 3 - 7 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Для графика $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$:

- при $x=-1$, $y = \frac{-1 + 7}{3} = 2$. Точка $(-1, 2)$.

- при $x=2$, $y = \frac{2 + 7}{3} = 3$. Точка $(2, 3)$.

Проводим прямую через найденные точки для каждой функции. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$. Графики строятся как прямые линии, проходящие через точки $(2, -1), (3, 2)$ для исходной функции и $(-1, 2), (2, 3)$ для обратной.

2) Дана функция $f(x) = 2 - 3x$.

Найдём обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами:

$x = 2 - 3y$

$3y = 2 - x$

$y = \frac{2 - x}{3}$

Следовательно, обратная функция: $g(x) = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$.

Для построения графиков найдём по две точки для каждой прямой.

Для графика $y = 2 - 3x$:

- при $x=0$, $y = 2 - 3 \cdot 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.

- при $x=1$, $y = 2 - 3 \cdot 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

Для графика $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$:

- при $x=2$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{2}{3} = 0$. Точка $(2, 0)$.

- при $x=-1$, $y = -\frac{1}{3}(-1) + \frac{2}{3} = 1$. Точка $(-1, 1)$.

Проводим прямую через найденные точки для каждой функции. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$. Графики строятся как прямые линии, проходящие через точки $(0, 2), (1, -1)$ для исходной функции и $(2, 0), (-1, 1)$ для обратной.

3) Дана функция $f(x) = 2x + 1$.

Найдём обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами:

$x = 2y + 1$

$2y = x - 1$

$y = \frac{x - 1}{2}$

Следовательно, обратная функция: $g(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

Для построения графиков найдём по две точки для каждой прямой.

Для графика $y = 2x + 1$:

- при $x=0$, $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

- при $x=1$, $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Точка $(1, 3)$.

Для графика $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$:

- при $x=1$, $y = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = 0$. Точка $(1, 0)$.

- при $x=3$, $y = \frac{1}{2} \cdot 3 - \frac{1}{2} = 1$. Точка $(3, 1)$.

Проводим прямую через найденные точки для каждой функции. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$. Графики строятся как прямые линии, проходящие через точки $(0, 1), (1, 3)$ для исходной функции и $(1, 0), (3, 1)$ для обратной.

4) Дана функция $f(x) = 3 - 2x$.

Найдём обратную функцию. Меняем $x$ и $y$ местами:

$x = 3 - 2y$

$2y = 3 - x$

$y = \frac{3 - x}{2}$

Следовательно, обратная функция: $g(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

Для построения графиков найдём по две точки для каждой прямой.

Для графика $y = 3 - 2x$:

- при $x=0$, $y = 3 - 2 \cdot 0 = 3$. Точка $(0, 3)$.

- при $x=1$, $y = 3 - 2 \cdot 1 = 1$. Точка $(1, 1)$.

Для графика $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$:

- при $x=3$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 3 + \frac{3}{2} = 0$. Точка $(3, 0)$.

- при $x=1$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} = 1$. Точка $(1, 1)$.

Точка $(1, 1)$ является общей для обоих графиков и лежит на оси симметрии $y=x$. Проводим прямую через найденные точки для каждой функции.

Ответ: обратная функция $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$. Графики строятся как прямые линии, проходящие через точки $(0, 3), (1, 1)$ для исходной функции и $(3, 0), (1, 1)$ для обратной.

Докажите: $(\cos x)' = -\sin x.$

Докажите: $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Докажите: (cosx)' = -sinx.

Для доказательства воспользуемся определением производной функции $f(x)$ в точке $x$: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.

В нашем случае $f(x) = \cos x$. Подставим эту функцию в определение производной:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$

Применим тригонометрическую формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$. Пусть $\alpha = x + \Delta x$ и $\beta = x$. Тогда числитель дроби под знаком предела примет вид:

$\cos(x + \Delta x) - \cos x = -2 \sin\frac{x + \Delta x + x}{2} \sin\frac{x + \Delta x - x}{2} = -2 \sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)$

Подставим полученное выражение обратно в предел:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2 \sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}$

Перегруппируем выражение, чтобы можно было применить первый замечательный предел $\left(\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\right)$:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\right) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}}$

Теперь вычислим оба предела по отдельности:

Первый предел: $\lim_{\Delta x \to 0} \left(-\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\right) = -\sin(x + 0) = -\sin x$.

Второй предел: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} = 1$, так как при $\Delta x \to 0$, аргумент $\frac{\Delta x}{2}$ также стремится к нулю.

Перемножив результаты, получаем искомое равенство:

$(\cos x)' = (-\sin x) \cdot 1 = -\sin x$.

Ответ: Доказано, что $(\cos x)' = -\sin x$.

Докажите: (ctgx)' = $-\frac{1}{\sin^2 x}$.

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$. Найдем их производные:

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$ (согласно предыдущему доказательству).

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$ (известная табличная производная).

Подставим эти производные в формулу для производной частного:

$(\text{ctg } x)' = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{(-\sin x) \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$

Упростим выражение в числителе:

$(\text{ctg } x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем окончательный результат:

$(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Ответ: Доказано, что $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.