Номер 12.2, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.2. Докажите, что не является ни четной, ни нечетной (говорят, является функцией общего вида) функция $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^3 + \cos x$;

2) $f(x) = x^5 - \cos^2 x$;

3) $f(x) = (2 - x)\cos^3 x$.

Для доказательства того, что функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида), необходимо показать, что для нее не выполняются условия ни четности ($f(-x) = f(x)$), ни нечетности ($f(-x) = -f(x)$) для всех $x$ из области определения.

1) $f(x) = x^3 + \cos x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 + \cos(-x) = -x^3 + \cos x$. (Так как $y=x^3$ — нечетная, а $y=\cos x$ — четная).

Проверим условие четности: $f(-x) = f(x)$.

$-x^3 + \cos x = x^3 + \cos x$.

$-x^3 = x^3 \Rightarrow 2x^3 = 0 \Rightarrow x=0$.

Это равенство выполняется только для $x=0$, а не для всех $x$ из области определения. Например, при $x=1$:$f(1) = 1^3 + \cos 1 = 1 + \cos 1$.$f(-1) = -1^3 + \cos 1 = -1 + \cos 1$.Так как $f(-1) \neq f(1)$, функция не является четной.

Проверим условие нечетности: $f(-x) = -f(x)$.

$-x^3 + \cos x = -(x^3 + \cos x) = -x^3 - \cos x$.

$\cos x = -\cos x \Rightarrow 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$.

Это равенство выполняется не для всех $x$ из области определения. Например, при $x=1$, $\cos 1 \neq 0$.$f(-1) = -1 + \cos 1$.$-f(1) = -(1 + \cos 1) = -1 - \cos 1$.Так как $f(-1) \neq -f(1)$, функция не является нечетной.

Следовательно, данная функция является функцией общего вида.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

2) $f(x) = x^5 - \cos^2 x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^5 - \cos^2(-x) = -x^5 - (\cos(-x))^2 = -x^5 - (\cos x)^2 = -x^5 - \cos^2 x$. (Так как $y=x^5$ — нечетная, а $y=\cos^2 x$ — четная).

Проверим условие четности: $f(-x) = f(x)$.

$-x^5 - \cos^2 x = x^5 - \cos^2 x$.

$-x^5 = x^5 \Rightarrow 2x^5 = 0 \Rightarrow x=0$.

Равенство выполняется только при $x=0$. Следовательно, функция не является четной.

Проверим условие нечетности: $f(-x) = -f(x)$.

$-x^5 - \cos^2 x = -(x^5 - \cos^2 x) = -x^5 + \cos^2 x$.

$-\cos^2 x = \cos^2 x \Rightarrow 2\cos^2 x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$.

Равенство выполняется не для всех $x$. Следовательно, функция не является нечетной.

Можно также привести контрпример, например, для $x=\pi$:

$f(\pi) = \pi^5 - \cos^2 \pi = \pi^5 - (-1)^2 = \pi^5 - 1$.

$f(-\pi) = -(-\pi)^5 - \cos^2(-\pi) = -\pi^5 - (-1)^2 = -\pi^5 - 1$.

$-f(\pi) = -(\pi^5 - 1) = -\pi^5 + 1$.

Поскольку $f(-\pi) \neq f(\pi)$ и $f(-\pi) \neq -f(\pi)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

3) $f(x) = (2 - x)\cos^3 x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (2 - (-x))\cos^3(-x) = (2 + x)(\cos(-x))^3 = (2 + x)(\cos x)^3 = (2 + x)\cos^3 x$.

Проверим условие четности: $f(-x) = f(x)$.

$(2 + x)\cos^3 x = (2 - x)\cos^3 x$.

Это равенство выполняется, если $\cos^3 x = 0$ или если $2 + x = 2 - x$, что дает $x=0$. Так как равенство выполняется не для всех $x$, функция не является четной.

Проверим условие нечетности: $f(-x) = -f(x)$.

$(2 + x)\cos^3 x = -(2 - x)\cos^3 x = (x - 2)\cos^3 x$.

Это равенство выполняется, если $\cos^3 x = 0$ или если $2 + x = x - 2$, что дает $2 = -2$ (неверно). Так как равенство выполняется не для всех $x$, функция не является нечетной.

Для наглядности приведем контрпример, например, для $x=\pi$:

$f(\pi) = (2 - \pi)\cos^3 \pi = (2 - \pi)(-1)^3 = \pi - 2$.

$f(-\pi) = (2 + \pi)\cos^3(-\pi) = (2 + \pi)(-1)^3 = -2 - \pi$.

$-f(\pi) = -(\pi - 2) = 2 - \pi$.

Так как $f(-\pi) \neq f(\pi)$ и $f(-\pi) \neq -f(\pi)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.