Номер 12.4, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.4. Докажите, что функция $y = \cos 2x$ является возрастающей на множестве:

1) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k; \pi k]$, $k \in \mathbb{Z};$

2) $[\frac{3\pi}{4} + \pi k; \pi + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}.$

Для доказательства того, что функция является возрастающей на заданном множестве, воспользуемся производной. Функция возрастает на тех промежутках, где её производная неотрицательна ($f'(x) \ge 0$).

Найдем производную функции $y = \cos(2x)$:

$y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$

Теперь найдем промежутки, на которых $y' \ge 0$:

$-2\sin(2x) \ge 0$

Разделив обе части неравенства на $-2$ и изменив знак на противоположный, получим:

$\sin(2x) \le 0$

Пусть $t = 2x$. Неравенство примет вид $\sin(t) \le 0$. Решением этого неравенства является множество промежутков $t \in [-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$, где $n \in Z$.

Итак, $-\pi + 2\pi n \le t \le 2\pi n$.

Сделаем обратную замену $t = 2x$:

$-\pi + 2\pi n \le 2x \le 2\pi n$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n \le x \le \pi n$

Таким образом, функция $y = \cos(2x)$ возрастает на каждом из промежутков вида $[-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$, где $n \in Z$. Далее докажем, что множества из условия задачи являются подмножествами этих промежутков.

1) $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k]$, $k \in Z$

Необходимо доказать, что функция $y = \cos(2x)$ возрастает на множестве $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k]$ для любого целого $k$. Для этого покажем, что данный промежуток является подмножеством одного из найденных промежутков возрастания $[-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$.

Выберем $n=k$. Соответствующий промежуток возрастания: $[-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k]$.

Сравним заданный промежуток $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k]$ с промежутком возрастания $[-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k]$.

Правые концы промежутков совпадают: $\pi k = \pi k$.

Сравним левые концы: так как $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{4}$, то и $-\frac{\pi}{2} + \pi k < -\frac{\pi}{4} + \pi k$.

Следовательно, $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k] \subseteq [-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k]$.

Поскольку функция возрастает на всём промежутке $[-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k]$, она возрастает и на любой его части, включая $[-\frac{\pi}{4} + \pi k, \pi k]$. Это верно для любого $k \in Z$.

Ответ: Утверждение доказано.

2) $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$, $k \in Z$

Необходимо доказать, что функция $y = \cos(2x)$ возрастает на множестве $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$ для любого целого $k$. Для этого покажем, что данный промежуток является подмножеством одного из найденных промежутков возрастания $[-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$.

Найдем такое целое $n$, чтобы выполнялось вложение: $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k] \subseteq [-\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi n]$. Это равносильно системе двух неравенств:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$ и $\pi + \pi k \le \pi n$.

Рассмотрим второе неравенство: $\pi + \pi k \le \pi n$. Разделив на $\pi$, получим $1 + k \le n$.

Так как $n$ — целое число, выберем наименьшее возможное значение: $n = k+1$.

Подставим $n = k+1$ в формулу для промежутка возрастания:

$[-\frac{\pi}{2} + \pi(k+1), \pi(k+1)] = [-\frac{\pi}{2} + \pi + \pi k, \pi + \pi k] = [\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k]$.

Теперь проверим, что заданный промежуток $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$ является подмножеством полученного промежутка возрастания $[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k]$.

Правые концы промежутков совпадают: $\pi + \pi k = \pi + \pi k$.

Сравним левые концы: так как $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4}$, то $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$, а значит $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4}$. Отсюда $\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

Следовательно, $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k] \subseteq [\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k]$.

Поскольку функция возрастает на всём промежутке $[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k]$ (который является промежутком возрастания при $n=k+1$), она возрастает и на любой его части, включая $[\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k]$. Это верно для любого $k \in Z$.

Ответ: Утверждение доказано.