Номер 12.10, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.10. Сравните значения выражений:

1) $\cos \frac{5\pi}{7}$ и $-\cos \frac{7\pi}{8}$;

2) $\cos \frac{4\pi}{9}$ и $\cos \frac{3\pi}{8}$;

3) $\cos \frac{3\pi}{11}$ и $\cos \frac{5\pi}{13}$.

1) Для сравнения значений $\cos\frac{5\pi}{7}$ и $\cos\frac{7\pi}{8}$ сначала определим, в какой четверти единичной окружности находятся углы $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$.

Поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$ (так как $\frac{3,5\pi}{7} < \frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{7}$) и $\frac{\pi}{2} < \frac{7\pi}{8} < \pi$ (так как $\frac{4\pi}{8} < \frac{7\pi}{8} < \frac{8\pi}{8}$), оба угла принадлежат второй четверти.

Функция $y = \cos x$ на промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ является убывающей. Это означает, что для любых двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\cos x_1 > \cos x_2$.

Сравним значения аргументов $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $56$:

$\frac{5\pi}{7} = \frac{5 \cdot 8 \pi}{7 \cdot 8} = \frac{40\pi}{56}$

$\frac{7\pi}{8} = \frac{7 \cdot 7 \pi}{8 \cdot 7} = \frac{49\pi}{56}$

Так как $40\pi < 49\pi$, то $\frac{40\pi}{56} < \frac{49\pi}{56}$, следовательно, $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$.

Поскольку функция косинуса убывает во второй четверти, из неравенства $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$ следует, что $\cos\frac{5\pi}{7} > \cos\frac{7\pi}{8}$.

Ответ: $\cos\frac{5\pi}{7} > \cos\frac{7\pi}{8}$.

2) Для сравнения значений $\cos\frac{4\pi}{9}$ и $\cos\frac{3\pi}{8}$ определим, в какой четверти находятся углы.

Поскольку $0 < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{4\pi}{9} < \frac{4,5\pi}{9}$) и $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{3\pi}{8} < \frac{4\pi}{8}$), оба угла принадлежат первой четверти.

Функция $y = \cos x$ на промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним значения аргументов $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю $72$:

$\frac{4\pi}{9} = \frac{4 \cdot 8 \pi}{9 \cdot 8} = \frac{32\pi}{72}$

$\frac{3\pi}{8} = \frac{3 \cdot 9 \pi}{8 \cdot 9} = \frac{27\pi}{72}$

Так как $32\pi > 27\pi$, то $\frac{32\pi}{72} > \frac{27\pi}{72}$, следовательно, $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$.

Поскольку функция косинуса убывает в первой четверти, из неравенства $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$ следует, что $\cos\frac{4\pi}{9} < \cos\frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $\cos\frac{4\pi}{9} < \cos\frac{3\pi}{8}$.

3) Для сравнения значений $\cos\frac{3\pi}{11}$ и $\cos\frac{5\pi}{13}$ определим, в какой четверти находятся углы.

Поскольку $0 < \frac{3\pi}{11} < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{3\pi}{11} < \frac{5,5\pi}{11}$) и $0 < \frac{5\pi}{13} < \frac{\pi}{2}$ (так как $\frac{5\pi}{13} < \frac{6,5\pi}{13}$), оба угла принадлежат первой четверти.

На промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \cos x$ является убывающей.

Сравним значения аргументов $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$. Приведем дроби к общему знаменателю $11 \cdot 13 = 143$:

$\frac{3\pi}{11} = \frac{3 \cdot 13 \pi}{11 \cdot 13} = \frac{39\pi}{143}$

$\frac{5\pi}{13} = \frac{5 \cdot 11 \pi}{13 \cdot 11} = \frac{55\pi}{143}$

Так как $39\pi < 55\pi$, то $\frac{39\pi}{143} < \frac{55\pi}{143}$, следовательно, $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$.

Поскольку функция косинуса убывает в первой четверти, из неравенства $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$ следует, что $\cos\frac{3\pi}{11} > \cos\frac{5\pi}{13}$.

Ответ: $\cos\frac{3\pi}{11} > \cos\frac{5\pi}{13}$.