Номер 12.14, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.14. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $\cos 1.9$, $\cos (-0.3)$, $\cos 1.3$;

2) $\cos \frac{25\pi}{9}$, $\cos \frac{-5\pi}{9}$, $\cos \frac{4\pi}{9}$.

12.15. Постройте

1) Для того чтобы расположить в порядке возрастания значения выражений $cos(1.9)$, $cos(-0.3)$, $cos(1.3)$, сначала воспользуемся свойством четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$. Таким образом, $cos(-0.3) = cos(0.3)$.

Теперь задача сводится к сравнению значений $cos(1.9)$, $cos(0.3)$ и $cos(1.3)$. Аргументы функции косинус даны в радианах.

Рассмотрим поведение функции $y=cos(x)$ на единичной окружности. Функция косинус является убывающей на промежутке $[0, \pi]$. Оценим значения аргументов: $0.3$, $1.3$, $1.9$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14$, получаем $\pi/2 \approx 1.57$.

Все три аргумента $0.3$, $1.3$ и $1.9$ принадлежат промежутку $[0, \pi]$. Расположим их в порядке возрастания: $0.3 < 1.3 < 1.9$.

Поскольку на промежутке $[0, \pi]$ функция $cos(x)$ убывает, для наших аргументов будет выполняться обратное неравенство: $cos(0.3) > cos(1.3) > cos(1.9)$.

Также можно проанализировать знаки косинусов. Углы $0.3$ и $1.3$ радиана находятся в первой четверти ($0 < 0.3 < 1.3 < \pi/2$), поэтому их косинусы положительны. Угол $1.9$ радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 1.9 < \pi$), поэтому его косинус отрицателен. Следовательно, $cos(1.9)$ является наименьшим значением. Среди положительных значений, так как $0.3 < 1.3$ и косинус убывает в первой четверти, имеем $cos(0.3) > cos(1.3)$.

Таким образом, порядок возрастания значений следующий: $cos(1.9)$, $cos(1.3)$, $cos(0.3)$.

Заменив $cos(0.3)$ на исходное выражение $cos(-0.3)$, получим окончательный ответ.

Ответ: $cos(1.9), cos(1.3), cos(-0.3)$.

2) Для того чтобы расположить в порядке возрастания значения выражений $cos(\frac{25\pi}{9})$, $cos(-\frac{5\pi}{9})$, $cos(\frac{4\pi}{9})$, мы сначала упростим аргументы, используя свойства функции косинус.

1. Периодичность косинуса: $cos(x + 2k\pi) = cos(x)$ для любого целого $k$.

Аргумент $\frac{25\pi}{9}$ можно представить как $\frac{25\pi}{9} = \frac{18\pi + 7\pi}{9} = 2\pi + \frac{7\pi}{9}$.

Следовательно, $cos(\frac{25\pi}{9}) = cos(2\pi + \frac{7\pi}{9}) = cos(\frac{7\pi}{9})$.

2. Четность косинуса: $cos(-x) = cos(x)$.

Следовательно, $cos(-\frac{5\pi}{9}) = cos(\frac{5\pi}{9})$.

3. Третье выражение $cos(\frac{4\pi}{9})$ уже представлено в удобном виде.

Теперь наша задача — сравнить значения $cos(\frac{7\pi}{9})$, $cos(\frac{5\pi}{9})$ и $cos(\frac{4\pi}{9})$.

Аргументы $\frac{4\pi}{9}$, $\frac{5\pi}{9}$ и $\frac{7\pi}{9}$ принадлежат промежутку $[0, \pi]$ (поскольку $\pi = \frac{9\pi}{9}$), на котором функция $y=cos(x)$ является убывающей.

Расположим аргументы в порядке возрастания: $\frac{4\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \frac{7\pi}{9}$.

Из-за убывания функции косинус на этом промежутке, значения функции будут расположены в обратном порядке: $cos(\frac{4\pi}{9}) > cos(\frac{5\pi}{9}) > cos(\frac{7\pi}{9})$.

Следовательно, в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему) значения располагаются так: $cos(\frac{7\pi}{9})$, $cos(\frac{5\pi}{9})$, $cos(\frac{4\pi}{9})$.

Подставляя обратно исходные выражения, получаем итоговый порядок.

Ответ: $cos(\frac{25\pi}{9}), cos(-\frac{5\pi}{9}), cos(\frac{4\pi}{9})$.