Номер 12.19, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*12.19. Постройте график функции и исследуйте ее на монотонность:

1) $y = x + \cos x$;

2) $y = x - \cos x$.

1) Рассмотрим функцию $y = x + \cos x$.

Построение графика:

График данной функции можно получить сложением графиков двух более простых функций: линейной функции $y_1 = x$ (биссектриса первого и третьего координатных углов) и функции косинуса $y_2 = \cos x$.

Основные свойства для построения:

• Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$, то для любого $x$ выполняется неравенство $x - 1 \le x + \cos x \le x + 1$. Это означает, что график функции $y = x + \cos x$ лежит в полосе, ограниченной двумя параллельными прямыми: $y = x - 1$ и $y = x + 1$.
• График касается верхней прямой $y = x + 1$ в точках, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(0, 1)$, $(2\pi, 2\pi+1)$.
• График касается нижней прямой $y = x - 1$ в точках, где $\cos x = -1$, то есть при $x = \pi + 2\pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(\pi, \pi-1)$, $(3\pi, 3\pi-1)$.
• График пересекает прямую $y=x$ в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Исследование на монотонность:

Для исследования функции на монотонность найдем её производную: $y' = (x + \cos x)' = 1 - \sin x$.

Проанализируем знак производной. Область значений синуса: $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, выражение $1 - \sin x$ всегда неотрицательно: $y' = 1 - \sin x \ge 1 - 1 = 0$.

Производная $y' \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Она обращается в ноль только в тех точках, где $\sin x = 1$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$. Поскольку производная неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. В точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ график имеет горизонтальные касательные, которые являются точками перегиба.

Ответ: функция $y = x + \cos x$ монотонно возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x - \cos x$.

Построение графика:

Аналогично предыдущему пункту, график данной функции можно получить сложением графиков функций $y_1 = x$ и $y_2 = -\cos x$.

Основные свойства для построения:

• Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Поскольку $-1 \le -\cos x \le 1$, то для любого $x$ выполняется неравенство $x - 1 \le x - \cos x \le x + 1$. График этой функции также лежит в полосе, ограниченной прямыми $y = x - 1$ и $y = x + 1$.
• График касается верхней прямой $y = x + 1$ в точках, где $-\cos x = 1$ (т.е. $\cos x = -1$), что происходит при $x = \pi + 2\pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(\pi, \pi+1)$, $(3\pi, 3\pi+1)$.
• График касается нижней прямой $y = x - 1$ в точках, где $-\cos x = -1$ (т.е. $\cos x = 1$), что происходит при $x = 2\pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(0, -1)$, $(2\pi, 2\pi-1)$.
• График пересекает прямую $y=x$ в точках, где $\cos x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$. Например, в точках $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.

Исследование на монотонность:

Найдем производную функции: $y' = (x - \cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Проанализируем знак производной. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то выражение $1 + \sin x$ всегда неотрицательно: $y' = 1 + \sin x \ge 1 + (-1) = 0$.

Производная $y' \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Она обращается в ноль только в тех точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$. Поскольку производная неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей на всей своей области определения. В точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ график имеет горизонтальные касательные, которые являются точками перегиба.

Ответ: функция $y = x - \cos x$ монотонно возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.