Задания, страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите это свойство, используя линию тангенсов (рис. 13.5).

Рис. 13.5

На рисунке 13.5 изображена единичная окружность с центром в начале координат $O$ и так называемая линия тангенсов — вертикальная прямая с уравнением $x=1$. Терминальная сторона угла $\alpha$, отложенного от положительного направления оси абсцисс, пересекает эту прямую в точке $A$ с координатами $(1; y)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками $O(0,0)$, $X(1,0)$ и $A(1,y)$. В этом треугольнике $\triangle OXA$ катет $OX$, прилежащий к углу $\angle XOA = \alpha$, имеет длину 1. Катет $AX$, противолежащий этому углу, имеет длину, равную ординате точки $A$, то есть $y$. По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AX}{OX} = \frac{y}{1} = y$.

Таким образом, ордината точки пересечения терминальной стороны угла с линией тангенсов численно равна тангенсу этого угла. Это и есть геометрический смысл тангенса.

Свойство, которое требуется доказать с помощью линии тангенсов, — это свойство монотонности функции $y = \tan(\alpha)$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Этот интервал на рисунке выделен синей дугой окружности.

Докажем, что на этом интервале тангенс является возрастающей функцией. Для этого выберем два любых значения угла, $\alpha_1$ и $\alpha_2$, из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ так, чтобы выполнялось неравенство $\alpha_1 < \alpha_2$.

Пусть терминальная сторона угла $\alpha_1$ пересекает линию тангенсов $x=1$ в точке $A_1(1; y_1)$, а терминальная сторона угла $\alpha_2$ — в точке $A_2(1; y_2)$. Исходя из геометрического смысла тангенса, мы знаем, что $y_1 = \tan(\alpha_1)$ и $y_2 = \tan(\alpha_2)$.

Поскольку угол $\alpha_2$ больше угла $\alpha_1$, луч $OA_2$ будет расположен "выше" луча $OA_1$ (при рассмотрении вращения от оси $OX$ против часовой стрелки). Это означает, что при увеличении угла $\alpha$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ точка пересечения $A$ движется по прямой $x=1$ непрерывно снизу вверх. Следовательно, точка $A_2$ будет находиться на линии тангенсов выше, чем точка $A_1$. Это означает, что её ордината будет больше: $y_2 > y_1$.

Подставляя вместо ординат соответствующие им значения тангенсов, получаем неравенство $\tan(\alpha_2) > \tan(\alpha_1)$.

Так как это рассуждение верно для любой пары углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ при условии $\alpha_1 < \alpha_2$, мы доказали, что функция $y=\tan(\alpha)$ является строго возрастающей на этом интервале.

Ответ: С помощью линии тангенсов было показано, что ордината точки пересечения терминальной стороны угла $\alpha$ с прямой $x=1$ равна $\tan(\alpha)$. Поскольку при увеличении угла $\alpha$ в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ эта ордината увеличивается, то для любых $\alpha_1, \alpha_2 \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ из неравенства $\alpha_1 < \alpha_2$ следует неравенство $\tan(\alpha_1) < \tan(\alpha_2)$. Это доказывает, что функция тангенса является возрастающей на данном интервале.