Номер 13.3, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.3. Докажите, что функция $y = \text{tg}2x$ является возрастающей на множестве:

1) $(-\frac{\pi}{4} + 0,5 \pi k; \frac{\pi}{4} + 0,5 \pi k)$, $k \in Z$;

2) $(\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2} \pi k; \frac{5\pi}{4} + \frac{1}{2} \pi k)$, $k \in Z$.

Для доказательства того, что функция является возрастающей на заданном множестве, достаточно показать, что её производная положительна на этом множестве. Рассмотрим функцию $y = \tan(2x)$.

Найдем её производную, используя правило дифференцирования сложной функции: $y' = (\tan(2x))' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.

Проанализируем знак производной. Числитель дроби $y'$ равен 2 (положительное число). Знаменатель $\cos^2(2x)$ является квадратом действительного числа и, следовательно, положителен для всех $x$, при которых он не равен нулю. Производная (и сама функция) не определена в точках, где $\cos(2x) = 0$, то есть при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, или $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ для любого целого $n$. Во всех остальных точках производная $y' = \frac{2}{\cos^2(2x)} > 0$. Это означает, что функция $y = \tan(2x)$ возрастает на каждом интервале, на котором она непрерывна.

1) Рассмотрим множество интервалов $(-\frac{\pi}{4} + 0,5\pi k; \frac{\pi}{4} + 0,5\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Заметим, что $0.5\pi = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, интервалы имеют вид $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2})$. Эти интервалы в точности соответствуют интервалам непрерывности функции $y=\tan(2x)$, так как их концами являются соседние точки разрыва (вертикальные асимптоты) $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k-1)}{2}$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$. Поскольку производная функции положительна на каждом из этих интервалов, функция $y = \tan(2x)$ является возрастающей на данном множестве.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Рассмотрим множество интервалов $(\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}\pi k; \frac{5\pi}{4} + \frac{1}{2}\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Покажем, что каждый из этих интервалов является интервалом непрерывности функции. Для этого преобразуем границы интервала.

Левая граница: $\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}\pi k = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi + 2\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi(k+1)}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k+1)}{2}$.

Правая граница: $\frac{5\pi}{4} + \frac{1}{2}\pi k = \frac{5\pi}{4} + \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi + 4\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi(k+2)}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k+2)}{2}$.

Таким образом, интервал имеет вид $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k+1)}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(k+2)}{2})$. Обозначив $m = k+1$, мы видим, что это интервал вида $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(m+1)}{2})$, который является интервалом между двумя последовательными точками разрыва. Следовательно, на этом множестве интервалов функция непрерывна и ее производная положительна. Это доказывает, что функция $y = \tan(2x)$ является возрастающей на данном множестве.

Ответ: Утверждение доказано.