Номер 13.10, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.10. Начертите единичную окружность. На линии котангенсов отметьте точку $P$, котангенс от значения абсциссы которой равен $p$. Через эту точку и начало координат проведите луч $OP$. Найдите точки пересечения линии котангенсов и луча $OP$. На чертеже отметьте угол, котангенс которого равен $p$, если:

1) $p = \frac{3}{4}$;

2) $p = 2$;

3) $p = -1$;

4) $p = -2\frac{3}{4}$.

Для решения задачи воспользуемся определением линии котангенсов. Линия котангенсов — это прямая с уравнением $y=1$, которая касается единичной окружности в точке $(0, 1)$. Котангенсом угла $\alpha$, отсчитываемого от положительного направления оси $Ox$, называется абсцисса (координата $x$) точки пересечения луча, образующего этот угол $\alpha$, с линией котангенсов.

Таким образом, для каждого значения $p$ мы выполняем следующие действия:

1. На координатной плоскости чертим единичную окружность с центром в начале координат $O(0,0)$ и радиусом 1, а также линию котангенсов, заданную уравнением $y=1$.

2. На линии котангенсов $y=1$ отмечаем точку $P$, абсцисса которой равна заданному значению $p$. Координаты этой точки будут $P(p, 1)$.

3. Проводим луч $OP$ из начала координат $O(0,0)$ через точку $P$.

4. Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ — это и есть сама точка $P(p, 1)$.

5. Угол, образованный положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$, является искомым углом, котангенс которого равен $p$. На чертеже этот угол отмечается дугой от положительной части оси $Ox$ до луча $OP$ (против часовой стрелки, если угол положителен, и по часовой, если отрицателен).

1) $p = \frac{3}{4}$

На линии котангенсов $y=1$ находим точку $P$ с абсциссой $p = \frac{3}{4}$. Координаты этой точки $P(\frac{3}{4}, 1)$. Через начало координат $O(0,0)$ и точку $P$ проводим луч $OP$. Точка пересечения этого луча с линией котангенсов — это точка $P(\frac{3}{4}, 1)$. Угол $\alpha$ между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом, для которого $\cot(\alpha) = \frac{3}{4}$. Так как $p > 0$, этот угол расположен в первой координатной четверти.

Ответ: Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ имеет координаты $(\frac{3}{4}, 1)$. Угол, котангенс которого равен $\frac{3}{4}$, — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.

2) $p = 2$

На линии котангенсов $y=1$ находим точку $P$ с абсциссой $p=2$. Координаты этой точки $P(2, 1)$. Через начало координат $O(0,0)$ и точку $P$ проводим луч $OP$. Точка пересечения этого луча с линией котангенсов — это точка $P(2, 1)$. Угол $\alpha$ между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом, для которого $\cot(\alpha) = 2$. Так как $p > 0$, этот угол расположен в первой координатной четверти.

Ответ: Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ имеет координаты $(2, 1)$. Угол, котангенс которого равен $2$, — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.

3) $p = -1$

На линии котангенсов $y=1$ находим точку $P$ с абсциссой $p=-1$. Координаты этой точки $P(-1, 1)$. Через начало координат $O(0,0)$ и точку $P$ проводим луч $OP$. Точка пересечения этого луча с линией котангенсов — это точка $P(-1, 1)$. Угол $\alpha$ между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом, для которого $\cot(\alpha) = -1$. Так как $p < 0$, этот угол расположен во второй координатной четверти. Его значение равно $\frac{3\pi}{4}$ радиан или $135^\circ$.

Ответ: Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ имеет координаты $(-1, 1)$. Угол, котангенс которого равен $-1$, — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.

4) $p = -2\frac{3}{4}$

Преобразуем значение $p$: $p = -2\frac{3}{4} = -\frac{11}{4} = -2,75$. На линии котангенсов $y=1$ находим точку $P$ с абсциссой $p = -\frac{11}{4}$. Координаты этой точки $P(-\frac{11}{4}, 1)$. Через начало координат $O(0,0)$ и точку $P$ проводим луч $OP$. Точка пересечения этого луча с линией котангенсов — это точка $P(-\frac{11}{4}, 1)$. Угол $\alpha$ между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$ является искомым углом, для которого $\cot(\alpha) = -2\frac{3}{4}$. Так как $p < 0$, этот угол расположен во второй координатной четверти.

Ответ: Точка пересечения линии котангенсов и луча $OP$ имеет координаты $(-2\frac{3}{4}, 1)$. Угол, котангенс которого равен $-2\frac{3}{4}$, — это угол между положительным направлением оси $Ox$ и лучом $OP$.