Номер 13.8, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.8. Постройте график и запишите промежутки убывания функции:

1) $y = 2 - \tan(0.5x);$

2) $y = 1 + \cot(1.5x);$

3) $y = 2\tan(2x);$

4) $y = -\cot(3x).$

1) y = 2 - tg0,5x;

Для построения графика функции $y = 2 - \operatorname{tg}(0.5x)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{tg}x$:

1. Растяжение графика вдоль оси OX в 2 раза. В результате получается график функции $y = \operatorname{tg}(0.5x)$. Период функции увеличивается до $T = \frac{\pi}{0.5} = 2\pi$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси OX. В результате получается график функции $y = -\operatorname{tg}(0.5x)$.

3. Параллельный перенос графика на 2 единицы вверх вдоль оси OY. В результате получается искомый график $y = 2 - \operatorname{tg}(0.5x)$.

Теперь найдем промежутки убывания. Функция $y = \operatorname{tg}x$ является возрастающей на всей своей области определения. После отражения относительно оси OX (шаг 2) функция становится убывающей. Сдвиг вдоль оси OY (шаг 3) не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция $y = 2 - \operatorname{tg}(0.5x)$ убывает на каждом промежутке своей области определения.

Область определения функции находится из условия, что аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$0.5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x \neq \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Линии $x = \pi + 2\pi n$ являются вертикальными асимптотами. Промежутки убывания функции – это интервалы между этими асимптотами.

Ответ: $(-\pi + 2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) y = 1 + ctg1,5x;

Для построения графика функции $y = 1 + \operatorname{ctg}(1.5x)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{ctg}x$:

1. Сжатие графика к оси OY в 1,5 раза. В результате получается график функции $y = \operatorname{ctg}(1.5x)$. Период функции уменьшается до $T = \frac{\pi}{1.5} = \frac{2\pi}{3}$.

2. Параллельный перенос графика на 1 единицу вверх вдоль оси OY. В результате получается искомый график $y = 1 + \operatorname{ctg}(1.5x)$.

Теперь найдем промежутки убывания. Функция $y = \operatorname{ctg}x$ является убывающей на всей своей области определения. Поскольку коэффициент при $x$ положителен ($1.5 > 0$), сжатие графика не меняет характер монотонности. Сдвиг вдоль оси OY также не влияет на монотонность. Следовательно, функция $y = 1 + \operatorname{ctg}(1.5x)$ убывает на каждом промежутке своей области определения.

Область определения функции находится из условия, что аргумент котангенса не должен быть равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$1.5x \neq \pi n$

$x \neq \frac{\pi n}{1.5}$

$x \neq \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Линии $x = \frac{2\pi n}{3}$ являются вертикальными асимптотами. Промежутки убывания функции – это интервалы между этими асимптотами.

Ответ: $(\frac{2\pi n}{3}, \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3})$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) y = 2tg2x;

Для построения графика функции $y = 2\operatorname{tg}(2x)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{tg}x$:

1. Сжатие графика к оси OY в 2 раза. Получается $y = \operatorname{tg}(2x)$ с периодом $T = \frac{\pi}{2}$.

2. Растяжение графика вдоль оси OY в 2 раза. Получается искомый график $y = 2\operatorname{tg}(2x)$.

Для нахождения промежутков убывания определим характер монотонности. Функция $y = \operatorname{tg}x$ является возрастающей. Коэффициенты перед функцией ($2$) и перед аргументом ($2$) положительны, поэтому преобразования не меняют характер монотонности. Функция $y = 2\operatorname{tg}(2x)$ является возрастающей на всей своей области определения. Таким образом, у данной функции нет промежутков убывания.

Ответ: промежутков убывания нет.

4) y = -ctg3x.

Для построения графика функции $y = -\operatorname{ctg}(3x)$ необходимо выполнить следующие преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{ctg}x$:

1. Сжатие графика к оси OY в 3 раза. Получается $y = \operatorname{ctg}(3x)$ с периодом $T = \frac{\pi}{3}$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси OX. Получается искомый график $y = -\operatorname{ctg}(3x)$.

Для нахождения промежутков убывания определим характер монотонности. Функция $y = \operatorname{ctg}x$ является убывающей. После сжатия функция $y = \operatorname{ctg}(3x)$ также остается убывающей. Однако, отражение относительно оси OX (из-за знака "минус") меняет монотонность на противоположную. Таким образом, функция $y = -\operatorname{ctg}(3x)$ является возрастающей на всей своей области определения. У данной функции нет промежутков убывания.

Ответ: промежутков убывания нет.