Номер 13.15, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.15. Используя алгоритм, постройте график функции:

1) $y = \text{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3})$; 2) $y = \text{tg}(3x - 4)$; 3) $y = -\text{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$.

1) Для построения графика функции $y = \operatorname{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3})$ выполним следующие преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \operatorname{ctg}(x)$.

Сначала представим функцию в виде $y = f(k(x - x_0))$.

$y = \operatorname{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3}) = \operatorname{ctg}(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

Здесь $k=2$, а сдвиг по фазе $x_0 = -\frac{\pi}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y_1 = \operatorname{ctg}(x)$. Этот график имеет период $T = \pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Сжимаем график $y_1 = \operatorname{ctg}(x)$ по горизонтали к оси $Oy$ в 2 раза. Получаем график функции $y_2 = \operatorname{ctg}(2x)$. Период этой функции будет в 2 раза меньше: $T_2 = \frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты теперь находятся в точках $2x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{2}$.

3. Сдвигаем полученный график $y_2 = \operatorname{ctg}(2x)$ влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$. Получаем искомый график функции $y = \operatorname{ctg}(2(x + \frac{\pi}{3})) = \operatorname{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Основные свойства итоговой функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{2}$.

• Вертикальные асимптоты: Аргумент котангенса должен быть равен $\pi n$.

$2x + \frac{2\pi}{3} = \pi n \implies 2x = \pi n - \frac{2\pi}{3} \implies x = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): Аргумент котангенса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies 2x = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n \implies 2x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Функция убывает на каждом из интервалов между асимптотами.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(2x + \frac{2\pi}{3})$ получается из графика $y = \operatorname{ctg}(x)$ путем сжатия по горизонтали в 2 раза с последующим сдвигом влево на $\frac{\pi}{3}$.

2) Для построения графика функции $y = \operatorname{tg}(3x - 4)$ выполним следующие преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \operatorname{tg}(x)$.

Представим функцию в виде $y = f(k(x - x_0))$.

$y = \operatorname{tg}(3x - 4) = \operatorname{tg}(3(x - \frac{4}{3}))$.

Здесь $k=3$, а сдвиг по фазе $x_0 = \frac{4}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y_1 = \operatorname{tg}(x)$. Этот график имеет период $T = \pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Сжимаем график $y_1 = \operatorname{tg}(x)$ по горизонтали к оси $Oy$ в 3 раза. Получаем график функции $y_2 = \operatorname{tg}(3x)$. Период этой функции будет в 3 раза меньше: $T_2 = \frac{\pi}{3}$. Вертикальные асимптоты теперь находятся в точках $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

3. Сдвигаем полученный график $y_2 = \operatorname{tg}(3x)$ вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{4}{3}$. Получаем искомый график функции $y = \operatorname{tg}(3(x - \frac{4}{3})) = \operatorname{tg}(3x - 4)$.

Основные свойства итоговой функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{3}$.

• Вертикальные асимптоты: Аргумент тангенса должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$3x - 4 = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies 3x = 4 + \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{4}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$): Аргумент тангенса должен быть равен $\pi n$.

$3x - 4 = \pi n \implies 3x = 4 + \pi n \implies x = \frac{4}{3} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Функция возрастает на каждом из интервалов между асимптотами.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(3x - 4)$ получается из графика $y = \operatorname{tg}(x)$ путем сжатия по горизонтали в 3 раза с последующим сдвигом вправо на $\frac{4}{3}$.

3) Для построения графика функции $y = -\operatorname{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$ выполним следующие преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \operatorname{tg}(x)$.

Представим функцию в виде $y = A \cdot f(k(x - x_0))$.

$y = -\operatorname{tg}(4x + \frac{4\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

Здесь амплитудный множитель $A=-1$, $k=4$, а сдвиг по фазе $x_0 = -\frac{\pi}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y_1 = \operatorname{tg}(x)$. Период $T = \pi$, асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

2. Сжимаем график $y_1 = \operatorname{tg}(x)$ по горизонтали к оси $Oy$ в 4 раза. Получаем график функции $y_2 = \operatorname{tg}(4x)$. Период становится $T_2 = \frac{\pi}{4}$. Асимптоты: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

3. Сдвигаем график $y_2 = \operatorname{tg}(4x)$ влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$. Получаем график функции $y_3 = \operatorname{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

4. Отражаем график $y_3$ симметрично относительно оси $Ox$. Получаем искомый график $y = -\operatorname{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$. В результате отражения возрастающая функция становится убывающей на каждом интервале определения.

Основные свойства итоговой функции:

• Период: $T = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{4}$.

• Вертикальные асимптоты: Положение асимптот не меняется при отражении. Аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

$4x + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies 4x = \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + \pi n \implies 4x = -\frac{5\pi}{6} + \pi n \implies x = -\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Нули функции: Положение нулей не меняется при отражении. Аргумент тангенса равен $\pi n$.

$4x + \frac{4\pi}{3} = \pi n \implies 4x = \pi n - \frac{4\pi}{3} \implies x = \frac{\pi n}{4} - \frac{\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Функция убывает на каждом из интервалов между асимптотами из-за знака минус перед функцией.

Ответ: График функции $y = -\operatorname{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$ получается из графика $y = \operatorname{tg}(x)$ путем сжатия по горизонтали в 4 раза, сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$ и последующего симметричного отражения относительно оси $Ox$.