Номер 13.9, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.9. Сравните значения выражений:

1) $tg(-\frac{5\pi}{7})$ и $tg(\frac{7\pi}{8})$;

2) $ctg(\frac{4\pi}{9})$ и $ctg(\frac{3\pi}{8})$;

3) $tg(\frac{3\pi}{11})$ и $tg(\frac{5\pi}{13})$.

1) Сравним значения выражений $tg(-\frac{5\pi}{7})$ и $tg\frac{7\pi}{8}$.

Для этого определим знаки каждого из выражений. Воспользуемся свойствами функции тангенса.

Функция $y=tg(x)$ является периодической с периодом $\pi$. Это означает, что $tg(x) = tg(x + k\pi)$ для любого целого $k$. Используем это свойство для первого выражения:

$tg(-\frac{5\pi}{7}) = tg(-\frac{5\pi}{7} + \pi) = tg(\frac{-5\pi + 7\pi}{7}) = tg(\frac{2\pi}{7})$.

Угол $\frac{2\pi}{7}$ находится в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой координатной четверти. В этой четверти значения тангенса положительны. Следовательно, $tg(-\frac{5\pi}{7}) > 0$.

Теперь рассмотрим второе выражение $tg\frac{7\pi}{8}$. Угол $\frac{7\pi}{8}$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, то есть во второй координатной четверти. В этой четверти значения тангенса отрицательны. Следовательно, $tg\frac{7\pi}{8} < 0$.

Сравнивая положительное число $tg(-\frac{5\pi}{7})$ и отрицательное число $tg\frac{7\pi}{8}$, приходим к выводу, что положительное число больше.

Ответ: $tg(-\frac{5\pi}{7}) > tg\frac{7\pi}{8}$.

2) Сравним значения выражений $ctg\frac{4\pi}{9}$ и $ctg\frac{3\pi}{8}$.

Оба угла, $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$, находятся в первой координатной четверти, так как $0 < \frac{4}{9} < \frac{1}{2}$ и $0 < \frac{3}{8} < \frac{1}{2}$.

Функция $y=ctg(x)$ является строго убывающей на интервале $(0, \pi)$. Это означает, что для двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 > x_2$, то $ctg(x_1) < ctg(x_2)$.

Сравним значения аргументов $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 8 = 72$:

$\frac{4\pi}{9} = \frac{4\pi \cdot 8}{72} = \frac{32\pi}{72}$

$\frac{3\pi}{8} = \frac{3\pi \cdot 9}{72} = \frac{27\pi}{72}$

Поскольку $32 > 27$, то $\frac{32\pi}{72} > \frac{27\pi}{72}$, а значит $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$.

Так как функция котангенса является убывающей на данном интервале, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $ctg\frac{4\pi}{9} < ctg\frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $ctg\frac{4\pi}{9} < ctg\frac{3\pi}{8}$.

3) Сравним значения выражений $tg\frac{3\pi}{11}$ и $tg\frac{5\pi}{13}$.

Оба угла, $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$, находятся в первой координатной четверти, так как $0 < \frac{3}{11} < \frac{1}{2}$ и $0 < \frac{5}{13} < \frac{1}{2}$.

Функция $y=tg(x)$ является строго возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что для двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, если $x_1 < x_2$, то $tg(x_1) < tg(x_2)$.

Сравним значения аргументов $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$. Приведем дроби к общему знаменателю $11 \cdot 13 = 143$:

$\frac{3\pi}{11} = \frac{3\pi \cdot 13}{143} = \frac{39\pi}{143}$

$\frac{5\pi}{13} = \frac{5\pi \cdot 11}{143} = \frac{55\pi}{143}$

Поскольку $39 < 55$, то $\frac{39\pi}{143} < \frac{55\pi}{143}$, а значит $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$.

Так как функция тангенса является возрастающей на данном интервале, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $tg\frac{3\pi}{11} < tg\frac{5\pi}{13}$.

Ответ: $tg\frac{3\pi}{11} < tg\frac{5\pi}{13}$.