Номер 13.7, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.7. Для функции $f(x)$ проверьте справедливость двух равенств и сделайте вывод — является ли число $T$ периодом функции:

1) $f(x) = \text{tg}x$, $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$ и $\text{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = 1$, $T = \pi$.

1) Задана функция $f(x) = \tan x$, число $T = \pi$ и два равенства для проверки: $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ и $\tan\frac{5\pi}{4} = 1$.

1. Проверим справедливость первого равенства: $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.

Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует $45^\circ$) является известным табличным значением. Действительно, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. Таким образом, первое равенство справедливо.

2. Проверим справедливость второго равенства: $\tan\frac{5\pi}{4} = 1$.

Для вычисления этого значения можно использовать свойство периодичности функции тангенс или формулы приведения. Основной период функции $y=\tan x$ равен $\pi$. Это означает, что $\tan(x+\pi) = \tan x$ для любого $x$ из области определения. Представим аргумент $\frac{5\pi}{4}$ в виде суммы: $\frac{5\pi}{4} = \frac{4\pi+\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$. Тогда: $\tan\frac{5\pi}{4} = \tan(\pi + \frac{\pi}{4})$. Согласно свойству периодичности, $\tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan\frac{\pi}{4}$. А так как из первого пункта мы знаем, что $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, то и $\tan\frac{5\pi}{4} = 1$. Таким образом, второе равенство также справедливо.

3. Сделаем вывод, является ли число $T=\pi$ периодом функции.

Число $T \neq 0$ называется периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Проверенные нами равенства показывают, что для конкретного значения $x = \frac{\pi}{4}$ выполняется условие $f(x+T)=f(x)$, то есть $f(\frac{\pi}{4}+\pi) = f(\frac{5\pi}{4}) = f(\frac{\pi}{4}) = 1$. Однако для того, чтобы $T=\pi$ было периодом, это равенство должно выполняться для всех $x$ из области определения функции $f(x)=\tan x$. Область определения тангенса — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число. Как было упомянуто ранее, наименьший положительный период функции $f(x) = \tan x$ равен именно $\pi$. Тождество $\tan(x+\pi) = \tan x$ справедливо для всех $x$ из области определения функции. Следовательно, число $T=\pi$ является периодом функции $f(x) = \tan x$.

Ответ: оба равенства справедливы; число $T = \pi$ является периодом функции $f(x) = \tan x$.