Вопросы, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие координаты будут у точки $F_1$, соответствующей точке $F(-\frac{\pi}{4}; 1)$, если известно, что она получена в результате:

1) растяжения графика функции $y = tgx$ вдоль оси $Ox$ в 4 раза?

2) сжатия графика функции $y = tgx$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза?

2. Сравните периоды функций $y = 2 ctgx$ и $y = ctgx$, если они заданы на всей области их определения.

1. Исходная точка $F$ имеет координаты $(\frac{\pi}{4}; 1)$. Преобразования графика функции влияют на координаты каждой точки $(x; y)$ этого графика.

1) Растяжение графика функции $y=\tg x$ вдоль оси $Ox$ в 4 раза.

При таком преобразовании каждая точка графика $(x; y)$ переходит в точку $(4x; y)$. Абсцисса умножается на 4, а ордината остается неизменной.

Для точки $F(\frac{\pi}{4}; 1)$ новые координаты точки $F_1$ вычисляются следующим образом:

$x_1 = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$

$y_1 = 1$

Таким образом, новые координаты точки $F_1$ будут $(\pi; 1)$.

Ответ: $(\pi; 1)$.

2) Сжатие графика функции $y=\tg x$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза.

При таком преобразовании каждая точка графика $(x; y)$ переходит в точку $(x; \frac{y}{3})$. Абсцисса остается неизменной, а ордината делится на 3.

Для точки $F(\frac{\pi}{4}; 1)$ новые координаты точки $F_1$ вычисляются следующим образом:

$x_1 = \frac{\pi}{4}$

$y_1 = \frac{1}{3}$

Таким образом, новые координаты точки $F_1$ будут $(\frac{\pi}{4}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4}; \frac{1}{3})$.

2. Для сравнения периодов функций $y = 2\ctg x$ и $y = \ctg x$ необходимо определить период каждой из них. Период функции вида $y = A \cdot f(kx+b)$ находится по формуле $T_{new} = \frac{T}{|k|}$, где $T$ — основной период функции $y=f(x)$.

Основной период функции $y = \ctg x$ равен $T = \pi$.

Для функции $y = \ctg x$ коэффициенты $A=1$ и $k=1$. Ее период равен $T_1 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Для функции $y = 2\ctg x$ коэффициенты $A=2$ и $k=1$. Коэффициент $A=2$ означает растяжение графика вдоль оси $Oy$ и не влияет на его период. Период этой функции равен $T_2 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Следовательно, периоды данных функций равны.

Ответ: Периоды функций $y = 2\ctg x$ и $y = \ctg x$ равны между собой и составляют $\pi$.