Номер 12.22, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.22. Упростите выражение:

1)

$\frac{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta}{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}$;

2)

$\frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}$;

3)

$\operatorname{ctg} \beta + \frac{\sin \beta}{1 + \cos \beta}$.

1) Для упрощения выражения $ \frac{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} $ воспользуемся основными тригонометрическими тождествами. Проще всего выразить тангенсы в знаменателе через котангенсы, используя формулу $ \text{tg}x = \frac{1}{\text{ctg}x} $.

Преобразуем знаменатель:

$ \text{tg}\alpha + \text{tg}\beta = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} + \frac{1}{\text{ctg}\beta} $

Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю $ \text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta $:

$ \frac{1}{\text{ctg}\alpha} + \frac{1}{\text{ctg}\beta} = \frac{\text{ctg}\beta + \text{ctg}\alpha}{\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta} $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}{\frac{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta}{\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta}} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ (\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta) \cdot \frac{\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta}{\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta} $

Сокращаем одинаковые выражения $ (\text{ctg}\alpha + \text{ctg}\beta) $:

$ \text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta $

Ответ: $ \text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}\beta $

2) Упростим выражение $ \frac{\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha} $. Для этого выразим тангенс и котангенс через синус и косинус: $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $ и $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

Преобразуем числитель:

$ \cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha = \cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} $

Вынесем $ \cos^2\alpha $ за скобки:

$ \frac{\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1)}{\sin^2\alpha} $

Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ следует, что $ \sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha $. Тогда числитель принимает вид:

$ \frac{\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha} = -\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} $

Теперь преобразуем знаменатель:

$ \sin^2\alpha - \text{tg}^2\alpha = \sin^2\alpha - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha \cdot \cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} $

Вынесем $ \sin^2\alpha $ за скобки:

$ \frac{\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1)}{\cos^2\alpha} $

Из основного тригонометрического тождества следует, что $ \cos^2\alpha - 1 = -\sin^2\alpha $. Тогда знаменатель принимает вид:

$ \frac{\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha)}{\cos^2\alpha} = -\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} $

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{-\frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{-\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{\cos^6\alpha}{\sin^6\alpha} = (\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^6 = \text{ctg}^6\alpha $

Ответ: $ \text{ctg}^6\alpha $

3) Упростим выражение $ \text{ctg}\beta + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} $. Заменим котангенс на отношение косинуса к синусу $ \text{ctg}\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} $ и приведем слагаемые к общему знаменателю.

$ \frac{\cos\beta}{\sin\beta} + \frac{\sin\beta}{1 + \cos\beta} $

Общий знаменатель будет $ \sin\beta(1 + \cos\beta) $.

$ \frac{\cos\beta(1 + \cos\beta)}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} + \frac{\sin\beta \cdot \sin\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} = \frac{\cos\beta(1 + \cos\beta) + \sin^2\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\beta}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2\beta + \sin^2\beta = 1 $ в числителе:

$ \frac{\cos\beta + 1}{\sin\beta(1 + \cos\beta)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (1 + \cos\beta) $:

$ \frac{1}{\sin\beta} $

Ответ: $ \frac{1}{\sin\beta} $