Номер 12.17, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.17. Используя преобразования, постройте график и найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = 4 + \cos \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$;

2) $y = 2\cos(3x - 4) - 3$;

3) $y = -2\cos \left( 4x + \frac{4\pi}{3} \right)$.

1) $y = 4 + \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$

Для построения графика преобразуем функцию к виду $y = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) + 4$. Построение графика осуществляется в несколько этапов, начиная с базового графика $y = \cos(x)$:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.

2. Сжимаем его по горизонтали к оси OY в 2 раза. Это преобразование дает график функции $y = \cos(2x)$. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Сдвигаем полученный график влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$. Это дает график функции $y = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)$.

4. Сдвигаем последний график вверх вдоль оси OY на 4 единицы. Это дает искомый график функции $y = \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) + 4$.

Для нахождения промежутков возрастания функции заметим, что она возрастает на тех же промежутках, на которых возрастает функция $y = \cos(t)$, где $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$. Это связано с тем, что коэффициент перед косинусом положителен (равен 1), а вертикальный сдвиг не влияет на монотонность.

Функция $y = \cos(t)$ возрастает на промежутках вида $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти промежутки возрастания для исходной функции, решим двойное неравенство:

$(2k-1)\pi \le 2x + \frac{2\pi}{3} \le 2k\pi$

Вычтем $\frac{2\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$(2k-1)\pi - \frac{2\pi}{3} \le 2x \le 2k\pi - \frac{2\pi}{3}$

$2k\pi - \pi - \frac{2\pi}{3} \le 2x \le 2k\pi - \frac{2\pi}{3}$

$2k\pi - \frac{5\pi}{3} \le 2x \le 2k\pi - \frac{2\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на 2:

$k\pi - \frac{5\pi}{6} \le x \le k\pi - \frac{\pi}{3}$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $\left[k\pi - \frac{5\pi}{6}, k\pi - \frac{\pi}{3}\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $\left[-\frac{5\pi}{6} + k\pi, -\frac{\pi}{3} + k\pi\right], k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 2\cos(3x - 4) - 3$

Для построения графика преобразуем функцию к виду $y = 2\cos\left(3\left(x - \frac{4}{3}\right)\right) - 3$. Построение графика осуществляется с помощью последовательных преобразований графика $y = \cos(x)$:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.

2. Растягиваем его по вертикали от оси OX в 2 раза, получая график $y = 2\cos(x)$. Амплитуда колебаний становится равной 2.

3. Сжимаем полученный график по горизонтали к оси OY в 3 раза, получая $y = 2\cos(3x)$. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{3}$.

4. Сдвигаем график вправо вдоль оси OX на $\frac{4}{3}$, получая $y = 2\cos\left(3\left(x - \frac{4}{3}\right)\right)$.

5. Сдвигаем последний график вниз вдоль оси OY на 3 единицы, получая искомый график $y = 2\cos\left(3\left(x - \frac{4}{3}\right)\right) - 3$.

Для нахождения промежутков возрастания учтем, что коэффициент перед косинусом (2) положителен. Следовательно, функция $y = 2\cos(3x-4)-3$ возрастает там же, где и $y = \cos(t)$, где $t = 3x - 4$.

Функция $y = \cos(t)$ возрастает на промежутках вида $[(2k-1)\pi, 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим двойное неравенство:

$(2k-1)\pi \le 3x - 4 \le 2k\pi$

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$(2k-1)\pi + 4 \le 3x \le 2k\pi + 4$

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{(2k-1)\pi + 4}{3} \le x \le \frac{2k\pi + 4}{3}$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $\left[\frac{(2k-1)\pi + 4}{3}, \frac{2k\pi + 4}{3}\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $\left[\frac{(2k-1)\pi + 4}{3}, \frac{2k\pi + 4}{3}\right], k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = -2\cos\left(4x + \frac{4\pi}{3}\right)$

Для построения графика преобразуем функцию к виду $y = -2\cos\left(4\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)$. Построение графика осуществляется с помощью последовательных преобразований графика $y = \cos(x)$:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.

2. Отражаем его симметрично относительно оси OX, получая $y = -\cos(x)$.

3. Растягиваем полученный график по вертикали от оси OX в 2 раза, получая $y = -2\cos(x)$.

4. Сжимаем график по горизонтали к оси OY в 4 раза, получая $y = -2\cos(4x)$. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

5. Сдвигаем последний график влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$, получая искомый график $y = -2\cos\left(4\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)$.

Для нахождения промежутков возрастания заметим, что коэффициент перед косинусом (-2) отрицателен. Это означает, что функция $y = -2\cos\left(4x + \frac{4\pi}{3}\right)$ возрастает на тех промежутках, где функция $y = \cos(t)$ убывает, где $t = 4x + \frac{4\pi}{3}$.

Функция $y = \cos(t)$ убывает на промежутках вида $[2k\pi, (2k+1)\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим двойное неравенство:

$2k\pi \le 4x + \frac{4\pi}{3} \le (2k+1)\pi$

Вычтем $\frac{4\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$2k\pi - \frac{4\pi}{3} \le 4x \le (2k+1)\pi - \frac{4\pi}{3}$

$\frac{6k\pi - 4\pi}{3} \le 4x \le \frac{3(2k+1)\pi - 4\pi}{3}$

$\frac{(6k-4)\pi}{3} \le 4x \le \frac{(6k-1)\pi}{3}$

Разделим все части неравенства на 4:

$\frac{(6k-4)\pi}{12} \le x \le \frac{(6k-1)\pi}{12}$

$\frac{(3k-2)\pi}{6} \le x \le \frac{(6k-1)\pi}{12}$

Следовательно, функция возрастает на промежутках $\left[\frac{(3k-2)\pi}{6}, \frac{(6k-1)\pi}{12}\right]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $\left[\frac{(3k-2)\pi}{6}, \frac{(6k-1)\pi}{12}\right], k \in \mathbb{Z}$.