Номер 12.13, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.13. Начертите единичную окружность. На линии косинусов отметьте точку, значение косинуса от абсциссы которой равно $a$ и $-1 \leq a \leq 1$. Через эту точку проведите прямую, параллельную оси $Oy$. Найдите точки пересечения этой прямой с единичной окружностью. На чертеже отметьте углы, косинус которых равен $a$, если: 1) $a = \frac{3}{4}$; 2) $a = \frac{2}{3}$; 3) $a = -\frac{1}{4}$; 4) $a = -\frac{3}{4}$.

Для решения данной задачи воспользуемся определением косинуса через единичную окружность. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным 1. Её уравнение в декартовых координатах: $x^2 + y^2 = 1$. Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки на единичной окружности, которая соответствует углу $\alpha$. Поэтому ось абсцисс (Ox) также называют линией косинусов.

Чтобы найти углы, косинус которых равен $a$, необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить единичную окружность.

2. На оси Ox (линии косинусов) отметить точку, абсцисса которой равна $a$.

3. Через эту точку провести вертикальную прямую, параллельную оси Oy. Уравнение этой прямой — $x=a$.

4. Найти точки пересечения этой прямой с единичной окружностью. Для этого нужно решить систему уравнений: $x=a$ и $x^2+y^2=1$. Подстановка дает $a^2+y^2=1$, откуда $y = \pm\sqrt{1-a^2}$. Таким образом, мы получаем две точки пересечения: $P_1(a, \sqrt{1-a^2})$ и $P_2(a, -\sqrt{1-a^2})$ (при условии, что $|a| < 1$).

5. На чертеже отметить углы, соответствующие этим точкам. Это углы, которые образуют радиус-векторы $OP_1$ и $OP_2$ с положительным направлением оси Ox. Общее решение уравнения $\cos(\alpha)=a$ имеет вид $\alpha = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) $a = \frac{3}{4}$

На оси косинусов (Ox) отмечаем точку с координатой $x = \frac{3}{4}$. Проводим через нее вертикальную прямую $x = \frac{3}{4}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, симметричных относительно оси Ox. Одна точка находится в первой координатной четверти, а другая — в четвертой. Найдем ординаты этих точек: $y = \pm\sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$. Таким образом, точки пересечения: $P_1(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$ и $P_2(\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$. На чертеже мы отмечаем два угла: угол $\alpha_1 = \arccos(\frac{3}{4})$, соответствующий точке $P_1$ в первой четверти, и угол $\alpha_2 = -\arccos(\frac{3}{4})$, соответствующий точке $P_2$ в четвертой четверти.

Ответ: Углы, косинус которых равен $\frac{3}{4}$, находятся по формуле $\alpha = \pm\arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности им соответствуют две точки: одна в первой и одна в четвертой четверти.

2) $a = \frac{2}{3}$

На оси Ox отмечаем точку с абсциссой $x = \frac{2}{3}$ и проводим через нее вертикальную прямую $x = \frac{2}{3}$. Эта прямая пересекает окружность в первой и четвертой четвертях. Ординаты точек пересечения равны $y = \pm\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$. Точки пересечения: $P_1(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3})$ и $P_2(\frac{2}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3})$. Соответствующие углы, которые нужно отметить на чертеже: $\alpha_1 = \arccos(\frac{2}{3})$ (в первой четверти) и $\alpha_2 = -\arccos(\frac{2}{3})$ (в четвертой четверти).

Ответ: Углы, косинус которых равен $\frac{2}{3}$, находятся по формуле $\alpha = \pm\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности им соответствуют две точки: одна в первой и одна в четвертой четверти.

3) $a = -\frac{1}{4}$

На оси Ox отмечаем точку с отрицательной координатой $x = -\frac{1}{4}$ и проводим прямую $x = -\frac{1}{4}$. Эта прямая пересекает единичную окружность во второй и третьей четвертях. Найдем ординаты точек пересечения: $y = \pm\sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$. Точки пересечения: $P_1(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{15}}{4})$ и $P_2(-\frac{1}{4}, -\frac{\sqrt{15}}{4})$. На чертеже отмечаем углы: $\alpha_1 = \arccos(-\frac{1}{4})$, который находится во второй четверти, и $\alpha_2 = -\arccos(-\frac{1}{4})$, который находится в третьей четверти.

Ответ: Углы, косинус которых равен $-\frac{1}{4}$, находятся по формуле $\alpha = \pm\arccos\left(-\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности им соответствуют две точки: одна во второй и одна в третьей четверти.

4) $a = -\frac{3}{4}$

На оси Ox отмечаем точку с координатой $x = -\frac{3}{4}$ и проводим вертикальную прямую $x = -\frac{3}{4}$. Прямая пересекает окружность во второй и третьей четвертях. Ординаты точек пересечения: $y = \pm\sqrt{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$. Точки пересечения: $P_1(-\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$ и $P_2(-\frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$. Углы, которые нужно отметить на чертеже: $\alpha_1 = \arccos(-\frac{3}{4})$ (во второй четверти) и $\alpha_2 = -\arccos(-\frac{3}{4})$ (в третьей четверти).

Ответ: Углы, косинус которых равен $-\frac{3}{4}$, находятся по формуле $\alpha = \pm\arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. На единичной окружности им соответствуют две точки: одна во второй и одна в третьей четверти.