Номер 12.18, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.18. Исследуйте функцию на четность, найдите промежутки убывания и множество значений функции:

1) $y = 3 + 2\cos2x$;

2) $y = -2\cos(3x - 2)$;

3) $y = 1 - \cos^2x$.

1) $y = 3 + 2\cos(2x)$

Исследование на четность. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = 3 + 2\cos(2(-x)) = 3 + 2\cos(-2x)$.

Поскольку косинус является четной функцией, то есть $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$y(-x) = 3 + 2\cos(2x) = y(x)$.

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Нахождение промежутков убывания. Найдем производную функции: $y' = (3 + 2\cos(2x))' = 2 \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = -4\sin(2x)$.

Функция убывает на тех промежутках, где ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$. Решим неравенство:

$-4\sin(2x) \le 0$

$\sin(2x) \ge 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса $2x$ находится в промежутке $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2\pi k \le 2x \le \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделив все части неравенства на 2, получаем промежутки убывания для $x$:

$[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение множества значений. Множество значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом:

$-1 \le \cos(2x) \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos(2x) \le 2$

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 - 2 \le 3 + 2\cos(2x) \le 3 + 2$

$1 \le y \le 5$

Следовательно, множество значений функции $E(y) = [1, 5]$.

Ответ: функция четная; промежутки убывания $[\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$; множество значений $[1, 5]$.

2) $y = -2\cos(3x - 2)$

Исследование на четность. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = -2\cos(3(-x) - 2) = -2\cos(-3x - 2) = -2\cos(-(3x + 2))$.

Используя четность косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$y(-x) = -2\cos(3x + 2)$.

Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:

$y(x) = -2\cos(3x - 2)$

$-y(x) = 2\cos(3x - 2)$

В общем случае $\cos(3x+2)$ не равно ни $\cos(3x-2)$, ни $-\cos(3x-2)$. Следовательно, условия $y(-x) = y(x)$ и $y(-x) = -y(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения. Функция не является ни четной, ни нечетной.

Нахождение промежутков убывания. Найдем производную функции: $y' = (-2\cos(3x - 2))' = -2 \cdot (-\sin(3x - 2)) \cdot (3x - 2)' = 6\sin(3x - 2)$.

Функция убывает, когда $y' \le 0$:

$6\sin(3x - 2) \le 0$

$\sin(3x - 2) \le 0$

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса $3x-2$ находится в промежутке $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2\pi k \le 3x - 2 \le 2\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 + \pi + 2\pi k \le 3x \le 2 + 2\pi + 2\pi k$

Разделим все части на 3:

$\frac{2 + \pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{2 + 2\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$.

Нахождение множества значений. Значения функции $\cos(3x-2)$ находятся в пределах от -1 до 1:

$-1 \le \cos(3x-2) \le 1$

Умножим все части неравенства на -2, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-2 \cdot 1 \le -2\cos(3x-2) \le -2 \cdot (-1)$

$-2 \le y \le 2$

Следовательно, множество значений функции $E(y) = [-2, 2]$.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной; промежутки убывания $[\frac{2+\pi+2\pi k}{3}, \frac{2+2\pi+2\pi k}{3}], k \in \mathbb{Z}$; множество значений $[-2, 2]$.

3) $y = 1 - \cos^2(x)$

Исследование на четность. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, преобразуем функцию:

$y = 1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$.

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \sin^2(-x) = (\sin(-x))^2$.

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$y(-x) = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x) = y(x)$.

Функция является четной.

Нахождение промежутков убывания. Найдем производную функции $y = \sin^2(x)$:

$y' = (\sin^2(x))' = 2\sin(x) \cdot (\sin(x))' = 2\sin(x)\cos(x)$.

Используя формулу синуса двойного угла, $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$, получаем $y' = \sin(2x)$.

Функция убывает, когда $y' \le 0$:

$\sin(2x) \le 0$

Это неравенство выполняется, когда $2x$ находится в промежутке $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2\pi k \le 2x \le 2\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем:

$\frac{\pi}{2} + \pi k \le x \le \pi + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Нахождение множества значений. Рассмотрим функцию $y = \sin^2(x)$. Мы знаем, что:

$-1 \le \sin(x) \le 1$

При возведении в квадрат значения синуса будут неотрицательными. Минимальное значение равно $0^2 = 0$, а максимальное $(\pm1)^2 = 1$.

$0 \le \sin^2(x) \le 1$

$0 \le y \le 1$

Следовательно, множество значений функции $E(y) = [0, 1]$.

Ответ: функция четная; промежутки убывания $[\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k], k \in \mathbb{Z}$; множество значений $[0, 1]$.