gdz.top
Номер 12.11, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер
Авторы: Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1183-9 (ч. 1) 978-601-07-1184-6 (ч. 2)
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 1. Глава 2. Тригонометрические функции, их свойства и графики. Параграф 12. График функции y = cosx и её свойства - номер 12.11, страница 99.
№12.10
№12.11 (с. 99)
Условие. №12.11 (с. 99)
12.11. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1) $y = 1 + 2\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$
2) $y = 3 - 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$
3) $y = 1 - \cos\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)$
Решение 2 (rus). №12.11 (с. 99)
1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = 1 + 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$ найдем ее производную.
$y' = (1 + 2\cos(x - \frac{\pi}{3}))' = -2\sin(x - \frac{\pi}{3})$.
Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$.
$-2\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0$.
Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\pi + 2\pi n < x - \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n$
$\pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < 2\pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{4\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{3} + 2\pi n$.
Промежутки возрастания: $[\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда ее производная $y' < 0$.
$-2\sin(x - \frac{\pi}{3}) < 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{3}) > 0$.
Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2\pi n < x - \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi n$
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$.
Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{7\pi}{3} + 2\pi n]$, убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) Для функции $y = 3 - 2\cos(x + \frac{\pi}{3})$ найдем производную.
$y' = (3 - 2\cos(x + \frac{\pi}{3}))' = -2(-\sin(x + \frac{\pi}{3})) = 2\sin(x + \frac{\pi}{3})$.
Функция возрастает, когда $y' > 0$.
$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) > 0 \implies \sin(x + \frac{\pi}{3}) > 0$.
Это неравенство выполняется, когда $2\pi n < x + \frac{\pi}{3} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2\pi n - \frac{\pi}{3} < x < \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
Промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $y' < 0$.
$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) < 0 \implies \sin(x + \frac{\pi}{3}) < 0$.
Это неравенство выполняется, когда $\pi + 2\pi n < x + \frac{\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < 2\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.
Промежутки убывания: $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n]$, убывает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3) Для функции $y = 1 - \cos(x - \frac{3\pi}{4})$ найдем производную.
$y' = (1 - \cos(x - \frac{3\pi}{4}))' = -(-\sin(x - \frac{3\pi}{4})) = \sin(x - \frac{3\pi}{4})$.
Функция возрастает, когда $y' > 0$.
$\sin(x - \frac{3\pi}{4}) > 0$.
Это неравенство выполняется, когда $2\pi n < x - \frac{3\pi}{4} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2\pi n + \frac{3\pi}{4} < x < \pi + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$.
Промежутки возрастания: $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $y' < 0$.
$\sin(x - \frac{3\pi}{4}) < 0$.
Это неравенство выполняется, когда $\pi + 2\pi n < x - \frac{3\pi}{4} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\pi + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < 2\pi + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
$\frac{7\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{4} + 2\pi n$.
Промежутки убывания: $[\frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \frac{11\pi}{4} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{7\pi}{4} + 2\pi n]$, убывает на промежутках $[\frac{7\pi}{4} + 2\pi n, \frac{11\pi}{4} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 12.11 расположенного на странице 99 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.11 (с. 99), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Кучер (Татьяна Павловна), Корчевский (Владимир Евгеньевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), 1-й части учебного пособия издательства Мектеп.