Номер 12.7, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.7. Найдите период функции:

1) $y = \cos 2x - \sin x;$

2) $y = \cos 5x \cos x + \sin x \sin 5x;$

3) $y = \frac{2}{3} \cos 4x + \sin 2x;$

4) $y = \cos^2 x - \sin^2 x;$

5) $y = \sin 4x - \cos 4x;$

6) $y = 3\sin \frac{x}{3} + 2\cos \frac{x}{3}.$

1) Данная функция $y = \cos(2x) - \sin(x)$ является разностью двух периодических функций: $f_1(x) = \cos(2x)$ и $f_2(x) = \sin(x)$.

Найдем основной период каждой из этих функций. Период функции вида $\cos(kx)$ определяется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $f_1(x) = \cos(2x)$ коэффициент $k=2$, следовательно, ее период $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Период функции вида $\sin(kx)$ также определяется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для функции $f_2(x) = \sin(x)$ коэффициент $k=1$, следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

Период суммы или разности двух периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. Найдем НОК($T_1, T_2$) = НОК($\pi, 2\pi$).

Наименьшее число, которое делится без остатка и на $\pi$, и на $2\pi$, это $2\pi$.

Ответ: $2\pi$

2) Для упрощения выражения $y = \cos(5x)\cos(x) + \sin(x)\sin(5x)$ воспользуемся тригонометрической формулой косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 5x$ и $\beta = x$:

$y = \cos(5x - x) = \cos(4x)$.

Теперь найдем период полученной функции $y = \cos(4x)$. Период функции вида $\cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В данном случае $k=4$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

3) Функция $y = \frac{2}{3}\cos(4x) + \sin(2x)$ является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \frac{2}{3}\cos(4x)$ и $f_2(x) = \sin(2x)$.

Найдем период каждой из них. Для $f_1(x)$, период определяется аргументом $\cos(4x)$, так как множитель $\frac{2}{3}$ влияет только на амплитуду. Период $T_1 = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.

Для $f_2(x) = \sin(2x)$, период $T_2 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Период исходной функции равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых: НОК($T_1, T_2$) = НОК($\frac{\pi}{2}, \pi$).

Наименьшее число, кратное $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$, это $\pi$.

Ответ: $\pi$

4) Для упрощения выражения $y = \cos^2x - \sin^2x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применив эту формулу, где $\alpha=x$, получим:

$y = \cos(2x)$.

Период функции $y = \cos(2x)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $k=2$.

Следовательно, период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$

5) Функция $y = \sin(4x) - \cos(4x)$ представляет собой разность двух функций, $\sin(4x)$ и $\cos(4x)$, с одинаковой угловой частотой. Период каждой из этих функций равен $T = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$. Так как периоды слагаемых равны, период их разности будет таким же.

В качестве альтернативы, можно преобразовать выражение с помощью введения вспомогательного угла:

$y = \sqrt{1^2+(-1)^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(4x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(4x)\right) = \sqrt{2}\sin(4x - \frac{\pi}{4})$.

Период функции вида $A\sin(kx+\phi)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Здесь $k=4$, поэтому период $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

6) Функция $y = 3\sin\frac{x}{3} + 2\cos\frac{x}{3}$ является суммой двух функций, $\sin(\frac{x}{3})$ и $\cos(\frac{x}{3})$, с одинаковым коэффициентом при $x$, равным $k = \frac{1}{3}$. Множители $3$ и $2$ влияют на амплитуду, но не на период.

Период для обеих функций $\sin(kx)$ и $\cos(kx)$ вычисляется как $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В данном случае $k=\frac{1}{3}$, поэтому период каждой из функций равен $T = \frac{2\pi}{|1/3|} = 6\pi$.

Так как периоды слагаемых одинаковы, период их суммы также равен $6\pi$.

Ответ: $6\pi$