Номер 12.9, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.9. Постройте график и запишите промежутки убывания функции:

1) $y = 2 - \cos 0,5x;$

2) $y = 1 + \cos 1,5x;$

3) $y = \cos x + |\cos x|;$

4) $y = \cos x - |\cos x|.$

1) $y = 2 - \cos(0,5x)$

Для построения графика функции $y = 2 - \cos(0,5x)$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика функции $y = \cos x$:

1. Построим график $y = \cos(0,5x)$. Это график $y = \cos x$, растянутый вдоль оси Ox в 2 раза. Период этой функции $T = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$.

2. Построим график $y = -\cos(0,5x)$. Он получается из предыдущего графика симметричным отражением относительно оси Ox.

3. Построим искомый график $y = 2 - \cos(0,5x)$, сдвинув предыдущий график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Для нахождения промежутков убывания функции найдем ее производную:

$y' = (2 - \cos(0,5x))' = -(-\sin(0,5x) \cdot 0,5) = 0,5\sin(0,5x)$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна: $y' < 0$.

$0,5\sin(0,5x) < 0$, что равносильно $\sin(0,5x) < 0$.

Неравенство $\sin t < 0$ выполняется для $t \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем обратную замену $t = 0,5x$:

$\pi + 2\pi n < 0,5x < 2\pi + 2\pi n$.

Умножим все части неравенства на 2:

$2\pi + 4\pi n < x < 4\pi + 4\pi n$.

Таким образом, функция убывает на интервалах. Включая концы, где производная равна нулю, получаем отрезки.

Ответ: промежутки убывания функции: $[2\pi + 4\pi n, 4\pi + 4\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 1 + \cos(1,5x)$

Для построения графика функции $y = 1 + \cos(1,5x)$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика функции $y = \cos x$:

1. Построим график $y = \cos(1,5x)$. Это график $y = \cos x$, сжатый вдоль оси Ox в 1,5 раза. Период этой функции $T = \frac{2\pi}{1,5} = \frac{4\pi}{3}$.

2. Построим искомый график $y = 1 + \cos(1,5x)$, сдвинув предыдущий график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Функция $y = 1 + \cos(1,5x)$ убывает на тех же промежутках, что и функция $y = \cos(1,5x)$.

Функция $y = \cos t$ убывает на промежутках $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пусть $t = 1,5x = \frac{3}{2}x$. Тогда:

$2\pi n \le \frac{3}{2}x \le \pi + 2\pi n$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{4\pi n}{3} \le x \le \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}$.

Ответ: промежутки убывания функции: $[\frac{4\pi n}{3}, \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \cos x + |\cos x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$. Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид $y = \cos x - \cos x = 0$. Это условие выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, график функции состоит из участков графика $y = 2\cos x$ там, где косинус неотрицателен, и горизонтальных отрезков $y=0$ там, где косинус отрицателен.

Функция может убывать только на тех промежутках, где она не является постоянной, то есть на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $y = 2\cos x$.

Функция $y = 2\cos x$ убывает там же, где и $y = \cos x$.

Стандартная функция $y = \cos t$ убывает на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Нам нужно найти пересечение промежутков убывания $y = \cos x$ и промежутков, где $y = 2\cos x$.

Пересечением множеств $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$ и $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$ являются отрезки $[2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$.

Ответ: промежутки убывания функции: $[2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \cos x - |\cos x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид $y = \cos x - \cos x = 0$. Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид $y = \cos x - (-\cos x) = 2\cos x$. Это условие выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

График функции состоит из горизонтальных отрезков $y=0$ там, где косинус неотрицателен, и участков графика $y = 2\cos x$ там, где косинус отрицателен.

Функция может убывать только на тех промежутках, где она не является постоянной, то есть на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $y = 2\cos x$.

Функция $y = 2\cos x$ убывает на отрезках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение интервалов $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$ с промежутками убывания $y = 2\cos x$.

Рассмотрим период при $n=0$: интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. На этом периоде $\cos x$ убывает на отрезке $[0, \pi]$.

Пересечение $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ и $[0, \pi]$ дает полуинтервал $(\frac{\pi}{2}, \pi]$.

Обобщая на все периоды, получаем промежутки убывания.

Ответ: промежутки убывания функции: $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.