Номер 12.8, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.8. Для функции $y = f(x)$ проверьте справедливость двух равенств и сделайте вывод — является ли число $T$ периодом функции:

$f(x) = \cos x, \cos \frac{\pi}{3} = 0,5$ и $\cos \left(\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}\right) = 0,5, T = \frac{4\pi}{3}$.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два последовательных шага, которые указаны в условии: проверить справедливость двух равенств и на основе этого сделать вывод о периодичности функции.

Проверка справедливости двух равенств

Проверим первое равенство: $ \cos\frac{\pi}{3} = 0,5 $.

Угол $ \frac{\pi}{3} $ радиан соответствует $60^\circ$. Косинус этого угла — это известное табличное значение: $ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $, что в десятичной форме равно $0,5$. Следовательно, первое равенство является верным.

Проверим второе равенство: $ \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}) = 0,5 $.

Сначала упростим выражение в аргументе косинуса: $ \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $.

Теперь необходимо вычислить значение $ \cos\frac{5\pi}{3} $. Для этого можно использовать формулу приведения $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha $:$ \cos\frac{5\pi}{3} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos\frac{\pi}{3} = 0,5 $.

Таким образом, второе равенство также является верным.

Вывод о том, является ли число T периодом функции

По определению, число $ T \neq 0 $ является периодом функции $ f(x) $, если для любого значения $ x $ из области определения функции выполняется равенство $ f(x+T) = f(x) $.

Проверка выше показала, что для конкретного значения $ x = \frac{\pi}{3} $ и $ T = \frac{4\pi}{3} $ равенство $ f(x+T) = f(x) $ выполняется, так как $ \cos\frac{\pi}{3} = \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}) = 0,5 $.

Однако, чтобы число $T$ было периодом, это равенство должно быть верным для всех возможных значений $x$. Проведем проверку для другого произвольного значения, например, $ x = 0 $.

Найдем значение функции в точке $x=0$:$ f(0) = \cos(0) = 1 $.

Теперь найдем значение функции в точке $ x+T = 0 + \frac{4\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $:$ f(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) $.

Используя формулу приведения $ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $, получаем:$ \cos(\frac{4\pi}{3}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -0,5 $.

Сравнивая результаты, видим, что $ f(0) = 1 $, а $ f(0+T) = -0,5 $. Поскольку $ f(0) \neq f(0+T) $, условие периодичности не выполняется для всех $x$.

Ответ: Оба равенства, предложенные в условии, справедливы. Однако число $ T = \frac{4\pi}{3} $ не является периодом функции $ f(x) = \cos x $, поскольку равенство $ f(x+T)=f(x) $ выполняется не для всех значений $ x $ из области определения.