Номер 12.1, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.1. Докажите, что является четной функция $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 + \cos^2x;$

2) $f(x) = x^4\cos x;$

3) $f(x) = (2 - x^2)\cos^2x;$

4) $f(x) = x\sin^3x + \cos x;$

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x} + \cos2x;$

6) $f(x) = \cos x - \frac{\sin3x}{x^5 - 9x}.$

Для доказательства того, что функция $y = f(x)$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Воспользуемся свойствами четных и нечетных функций:

• $(-x)^{2n} = x^{2n}$ (четная степень)
• $(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$ (нечетная степень)
• $\cos(-x) = \cos(x)$ (косинус — четная функция)
• $\sin(-x) = -\sin(x)$ (синус — нечетная функция)

1) $f(x) = x^2 + \cos^2x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа), она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + \cos^2(-x)$

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\cos(-x) = \cos x$, то $\cos^2(-x) = (\cos(-x))^2 = (\cos x)^2 = \cos^2x$.

Следовательно, $f(-x) = x^2 + \cos^2x = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: можно заметить, что $x^2$ — четная функция, $\cos x$ — четная функция, значит и $\cos^2x$ — четная. Сумма двух четных функций ($x^2$ и $\cos^2x$) также является четной функцией.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

2) $f(x) = x^4\cos x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^4\cos(-x)$

Так как $(-x)^4 = x^4$ (четная степень) и $\cos(-x) = \cos x$ (четная функция), получаем:

$f(-x) = x^4\cos x = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является произведением двух четных функций ($x^4$ и $\cos x$), а такое произведение всегда является четной функцией.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

3) $f(x) = (2 - x^2)\cos^2x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (2 - (-x)^2)\cos^2(-x)$

Используем свойства: $(-x)^2 = x^2$ и $\cos^2(-x) = \cos^2x$.

$f(-x) = (2 - x^2)\cos^2x = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является произведением двух четных функций. Первый множитель $g(x) = 2 - x^2$ является четным, так как $g(-x) = 2 - (-x)^2 = 2 - x^2 = g(x)$. Второй множитель $h(x) = \cos^2x$ также является четным. Произведение двух четных функций есть функция четная.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

4) $f(x) = x\sin^3x + \cos x$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)\sin^3(-x) + \cos(-x)$

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, то $\sin^3(-x) = (\sin(-x))^3 = (-\sin x)^3 = -\sin^3x$. Также $\cos(-x) = \cos x$.

Подставляем в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)(-\sin^3x) + \cos x = x\sin^3x + \cos x = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является суммой двух функций $g(x) = x\sin^3x$ и $h(x) = \cos x$. Функция $h(x)$ четная. Функция $g(x)$ является произведением двух нечетных функций ($x$ и $\sin^3x$), а такое произведение является четной функцией. Сумма двух четных функций есть функция четная.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x} + \cos(2x)$

Найдем область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 - 4x \neq 0 \implies x(x^2 - 4) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq \pm 2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^3 - 4(-x)} + \cos(2(-x))$

Рассмотрим дробь: числитель $\sin(-x) = -\sin x$; знаменатель $(-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x)$.

$\frac{\sin(-x)}{(-x)^3 - 4(-x)} = \frac{-\sin x}{-(x^3 - 4x)} = \frac{\sin x}{x^3 - 4x}$.

Рассмотрим второе слагаемое: $\cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos(2x)$.

Таким образом, $f(-x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x} + \cos(2x) = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является суммой двух четных функций. Первая функция $g(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 4x}$ является частным двух нечетных функций ($\sin x$ и $x^3-4x$), следовательно, она четная. Вторая функция $h(x) = \cos(2x)$ является четной. Сумма двух четных функций четна.

Ответ: Доказано, что функция является четной.

6) $f(x) = \cos x - \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x}$

Найдем область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^5 - 9x \neq 0 \implies x(x^4 - 9) \neq 0 \implies x(x^2 - 3)(x^2 + 3) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq \pm \sqrt{3}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; 0) \cup (0; \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \cos(-x) - \frac{\sin(3(-x))}{(-x)^5 - 9(-x)}$

Первое слагаемое: $\cos(-x) = \cos x$.

Рассмотрим дробь: числитель $\sin(3(-x)) = \sin(-3x) = -\sin(3x)$; знаменатель $(-x)^5 - 9(-x) = -x^5 + 9x = -(x^5 - 9x)$.

$\frac{\sin(3(-x))}{(-x)^5 - 9(-x)} = \frac{-\sin(3x)}{-(x^5 - 9x)} = \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x}$.

Таким образом, $f(-x) = \cos x - \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x} = f(x)$.

Условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, значит, функция является четной.

Дополнительно: функция является разностью двух четных функций. Первая функция $g(x) = \cos x$ четная. Вторая функция $h(x) = \frac{\sin(3x)}{x^5 - 9x}$ является частным двух нечетных функций ($\sin(3x)$ и $x^5-9x$), следовательно, она четная. Разность двух четных функций является четной функцией.

Ответ: Доказано, что функция является четной.