Номер 11.16, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*11.16. Постройте график функции и исследуйте ее на монотонность:

1) $y = x + \sin x;$

2) $y = x - \sin x.$

1) y = x + sinx

Построение графика:

График данной функции можно построить методом сложения графиков двух более простых функций: $y_1 = x$ (прямая линия, биссектриса I и III координатных четвертей) и $y_2 = \sin x$ (синусоида).

Для построения графика $y = x + \sin x$ нужно к ординате каждой точки прямой $y_1 = x$ прибавить соответствующую ординату точки на синусоиде $y_2 = \sin x$.

Основные свойства и точки:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x) + \sin(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Точки пересечения с осью Ox: $x + \sin x = 0$. Очевидное решение $x = 0$. Других корней нет, так как при $x > 0$ оба слагаемых положительны (кроме точек $x = k\pi$, где $\sin x=0$), а при $x < 0$ оба слагаемых отрицательны. Таким образом, единственная точка пересечения с осями — $(0, 0)$.
• График колеблется вокруг прямой $y = x$. Когда $\sin x > 0$ (на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$), график функции лежит выше прямой $y=x$. Когда $\sin x < 0$ (на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$), график лежит ниже прямой $y=x$.
• Точки, в которых график касается прямых, параллельных $y=x$: это точки, где $\sin x = \pm 1$. Например, в точке $x=\pi/2$, $y = \pi/2 + 1$.

Исследование на монотонность:

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную:

$y' = (x + \sin x)' = (x)' + (\sin x)' = 1 + \cos x$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$), и убывает там, где производная отрицательна ($y' < 0$).

Проанализируем знак производной $y' = 1 + \cos x$.

Известно, что для любого $x$ значение косинуса находится в пределах $-1 \le \cos x \le 1$.

Следовательно, $1 + (-1) \le 1 + \cos x \le 1 + 1$, что дает $0 \le 1 + \cos x \le 2$.

Таким образом, производная $y' = 1 + \cos x \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция не убывает на всей числовой прямой.

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$y' = 0 \Rightarrow 1 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -1$.

Это равенство выполняется при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как производная неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей.

Ответ: функция $y = x + \sin x$ является монотонно возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

2) y = x - sinx

Построение графика:

График этой функции также можно построить сложением графиков $y_1 = x$ и $y_2 = -\sin x$. График $y_2 = -\sin x$ — это синусоида, симметрично отраженная относительно оси Ox.

Основные свойства и точки:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция является нечетной: $y(-x) = (-x) - \sin(-x) = -x + \sin x = -(x - \sin x) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Точка пересечения с осями: $x - \sin x = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
• График колеблется вокруг прямой $y = x$. Когда $\sin x > 0$ (на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$), график функции лежит ниже прямой $y=x$. Когда $\sin x < 0$ (на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$), график лежит выше прямой $y=x$.

Исследование на монотонность:

Найдем производную функции:

$y' = (x - \sin x)' = (x)' - (\sin x)' = 1 - \cos x$.

Проанализируем знак производной $y' = 1 - \cos x$.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 \le -\cos x \le 1$.

Следовательно, $1 + (-1) \le 1 - \cos x \le 1 + 1$, что дает $0 \le 1 - \cos x \le 2$.

Производная $y' = 1 - \cos x \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция не убывает на всей числовой прямой.

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$y' = 0 \Rightarrow 1 - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 1$.

Это равенство выполняется при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как производная неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей.

Ответ: функция $y = x - \sin x$ является монотонно возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.