Номер 11.17, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.17. Найдите период и постройте график функции:

1) $y=\{x\}$;

2) $y=3-\{x\}$;

3) $y=2\{2x\}$;

4) $y=\{\frac{x}{3}\} + 2,$

где $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.

1) Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$, определяемая как $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$.

Нахождение периода: Функция $\{x\}$ является периодической с основным периодом $T=1$, так как для любого $x$ выполняется $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = x+1 - ([x]+1) = x - [x] = \{x\}$, и $T=1$ — наименьшее положительное число с таким свойством.

Построение графика: На промежутке $[0, 1)$ имеем $[x]=0$, поэтому $y = \{x\} = x$. Графиком на этом промежутке является отрезок прямой, соединяющий точки $(0,0)$ и $(1,1)$, причём точка $(0,0)$ принадлежит графику, а точка $(1,1)$ — нет. В силу периодичности, этот отрезок повторяется на каждом промежутке вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число. Таким образом, на промежутке $[n, n+1)$ график функции совпадает с графиком $y = x-n$. Область значений функции: $[0, 1)$.

Ответ: Период $T=1$. График представляет собой совокупность параллельных отрезков с угловым коэффициентом 1; на каждом промежутке $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) график задается уравнением $y=x-n$.

2) Рассмотрим функцию $y = 3 - \{x\}$.

Нахождение периода: Эта функция получена из функции $f(x)=\{x\}$ путем преобразований $y = -f(x)+3$. Такие преобразования (отражение и сдвиг) не меняют период функции. Так как период функции $\{x\}$ равен 1, то и основной период функции $y = 3 - \{x\}$ также равен 1. Проверим: $y(x+1) = 3 - \{x+1\} = 3 - \{x\} = y(x)$.

Построение графика: График функции $y = 3 - \{x\}$ можно построить из графика $y_0 = \{x\}$ в два этапа. Сначала строим график $y_1 = -\{x\}$ — это симметричное отражение графика $y_0=\{x\}$ относительно оси $Ox$. Затем строим график $y = y_1 + 3 = -\{x\} + 3$ — это сдвиг графика $y_1$ на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. На основном периоде $[0, 1)$ график исходной функции $y_0=\{x\}$ совпадает с $y=x$. Тогда для нашей функции на этом промежутке имеем $y = 3 - x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 3)$ и $(1, 2)$, причём точка $(0,3)$ принадлежит графику, а точка $(1,2)$ — нет. Далее этот отрезок периодически повторяется с периодом $T=1$. Область значений функции: $(2, 3]$.

Ответ: Период $T=1$. График состоит из множества отрезков прямых $y=3-(x-n) = 3-x+n$ на каждом промежутке $[n, n+1)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

3) Рассмотрим функцию $y = 2\{2x\}$.

Нахождение периода: Эта функция имеет вид $y = A f(kx)$, где $f(u) = \{u\}$, $A=2$, $k=2$. Если основной период функции $f(u)$ равен $T_f=1$, то основной период функции $y$ равен $T = T_f / |k| = 1/2$.

Построение графика: График функции $y = 2\{2x\}$ можно построить из графика $y_0 = \{x\}$ в два этапа. Сначала строим график $y_1 = \{2x\}$ — это сжатие графика $y_0=\{x\}$ к оси $Oy$ в 2 раза. Период этой функции равен $1/2$. Затем строим график $y = 2y_1 = 2\{2x\}$ — это растяжение графика $y_1$ от оси $Ox$ в 2 раза. На основном периоде $[0, 1/2)$, имеем $0 \le 2x < 1$, поэтому $\{2x\} = 2x$. Тогда $y = 2(2x) = 4x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1/2, 2)$, причём точка $(0,0)$ принадлежит графику, а точка $(1/2, 2)$ — нет. Далее этот отрезок периодически повторяется с периодом $T=1/2$. Область значений функции: $[0, 2)$.

Ответ: Период $T=1/2$. График состоит из множества отрезков прямой $y=2(2x - n) = 4x-2n$ на каждом промежутке $[n/2, (n+1)/2)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

4) Рассмотрим функцию $y = \{\frac{x}{3}\} + 2$.

Нахождение периода: Эта функция имеет вид $y = f(kx) + B$, где $f(u) = \{u\}$, $k=1/3$, $B=2$. Если основной период функции $f(u)$ равен $T_f=1$, то основной период функции $y$ равен $T = T_f / |k| = 1 / (1/3) = 3$.

Построение графика: График функции $y = \{\frac{x}{3}\} + 2$ можно построить из графика $y_0 = \{x\}$ в два этапа. Сначала строим график $y_1 = \{x/3\}$ — это растяжение графика $y_0=\{x\}$ от оси $Oy$ в 3 раза. Период этой функции равен 3. Затем строим график $y = y_1 + 2 = \{x/3\} + 2$ — это сдвиг графика $y_1$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. На основном периоде $[0, 3)$, имеем $0 \le x/3 < 1$, поэтому $\{x/3\} = x/3$. Тогда $y = x/3 + 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(3, 3)$, причём точка $(0,2)$ принадлежит графику, а точка $(3,3)$ — нет. Далее этот отрезок периодически повторяется с периодом $T=3$. Область значений функции: $[2, 3)$.

Ответ: Период $T=3$. График состоит из множества отрезков прямой $y = (x/3 - n) + 2$ на каждом промежутке $[3n, 3(n+1))$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.