Номер 11.13, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.13. Используя алгоритм, постройте график функции:

1) $y = \sin \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$;

2) $y = \sin(3x - 4)$;

3) $y = \sin \left(4x + \frac{4\pi}{3}\right)$.

Для построения графиков функций вида $y = \sin(kx + \phi)$ используется следующий алгоритм, основанный на преобразовании графика базовой функции $y = \sin(x)$:

1. Построить график функции $y = \sin(x)$ (синусоида с периодом $2\pi$).

2. Выполнить сжатие или растяжение графика вдоль оси Ox. График функции $y = \sin(kx)$ получается из графика $y = \sin(x)$ сжатием к оси Oy в $k$ раз, если $k > 1$, или растяжением от оси Oy в $1/k$ раз, если $0 < k < 1$. Период функции изменяется и становится равным $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

3. Выполнить сдвиг (параллельный перенос) полученного графика вдоль оси Ox. Для этого представим функцию в виде $y = \sin(k(x + \frac{\phi}{k}))$. График сдвигается влево на величину $|\frac{\phi}{k}|$, если $\frac{\phi}{k} > 0$, и вправо на величину $|\frac{\phi}{k}|$, если $\frac{\phi}{k} < 0$.

Применим этот алгоритм к каждой из заданных функций.

1) $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$

Представим функцию в виде $y = \sin(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

Здесь $k=2$ и фазовый сдвиг $-\frac{\phi}{k} = -\frac{\pi}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$.

2. Сжимаем этот график вдоль оси Ox в 2 раза. Получаем график функции $y = \sin(2x)$. Период этой функции равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Сдвигаем график функции $y = \sin(2x)$ вдоль оси Ox влево на $\frac{\pi}{3}$.

В результате получаем искомый график функции $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и последующего сдвига по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ влево.

2) $y = \sin(3x - 4)$

Представим функцию в виде $y = \sin(3(x - \frac{4}{3}))$.

Здесь $k=3$ и фазовый сдвиг $-\frac{\phi}{k} = \frac{4}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$.

2. Сжимаем этот график вдоль оси Ox в 3 раза. Получаем график функции $y = \sin(3x)$. Период этой функции равен $T = \frac{2\pi}{3}$.

3. Сдвигаем график функции $y = \sin(3x)$ вдоль оси Ox вправо на $\frac{4}{3}$.

В результате получаем искомый график функции $y = \sin(3x - 4)$.

Ответ: График функции $y = \sin(3x - 4)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия по оси Ox в 3 раза и последующего сдвига по оси Ox на $\frac{4}{3}$ вправо.

3) $y = \sin(4x + \frac{4\pi}{3})$

Представим функцию в виде $y = \sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

Здесь $k=4$ и фазовый сдвиг $-\frac{\phi}{k} = -\frac{\pi}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$.

2. Сжимаем этот график вдоль оси Ox в 4 раза. Получаем график функции $y = \sin(4x)$. Период этой функции равен $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

3. Сдвигаем график функции $y = \sin(4x)$ вдоль оси Ox влево на $\frac{\pi}{3}$.

В результате получаем искомый график функции $y = \sin(4x + \frac{4\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \sin(4x + \frac{4\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия по оси Ox в 4 раза и последующего сдвига по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ влево.