Номер 11.6, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.6. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = \sin2x - \sin x;$

2) $y = \sin5x \cos x - \sin x \cos 5x;$

3) $y = \frac{2}{3}\sin4x + \sin2x;$

4) $y = 2 - \sin x \cos x;$

5) $y = \sin4x\cos4x;$

6) $y = \sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}.$

1) Функция $y = \sin(2x) - \sin(x)$ является суммой двух периодических функций: $y_1(x) = \sin(2x)$ и $y_2(x) = -\sin(x)$.

Найдем наименьшие положительные периоды для каждой из них. Период функции вида $f(x) = a \sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Период функции $y_1(x) = \sin(2x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Период функции $y_2(x) = -\sin(x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Наименьший положительный период функции $y(x)$ равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, 2\pi) = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

2) Преобразуем данную функцию, используя тригонометрическую формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

В нашем случае $y = \sin(5x)\cos(x) - \sin(x)\cos(5x) = \sin(5x-x) = \sin(4x)$.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $y = \sin(4x)$ период равен $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) Функция $y = \frac{2}{3}\sin(4x) + \sin(2x)$ является суммой двух периодических функций: $y_1(x) = \frac{2}{3}\sin(4x)$ и $y_2(x) = \sin(2x)$.

Период функции $y_1(x)$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Период функции $y_2(x)$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Наименьший положительный период исходной функции равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$.

$T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{2}, \pi) = \pi$.

Ответ: $\pi$.

4) Преобразуем данную функцию, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, откуда $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$y = 2 - \sin(x)\cos(x) = 2 - \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Период функции $y = A \cdot \sin(kx+b) + C$ определяется коэффициентом $k$ при $x$ и не зависит от константы $C$ и множителя $A$. В данном случае период совпадает с периодом функции $y = \sin(2x)$.

Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

5) Преобразуем данную функцию, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, откуда $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$y = \sin(4x)\cos(4x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 4x) = \frac{1}{2}\sin(8x)$.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $y = \frac{1}{2}\sin(8x)$ период равен $T = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

6) Преобразуем данную функцию, используя формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, откуда $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

$y = \sin(\frac{x}{3})\cos(\frac{x}{3}) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{x}{3}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{2x}{3})$.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции $y = \frac{1}{2}\sin(\frac{2x}{3})$ период равен $T = \frac{2\pi}{|\frac{2}{3}|} = 2\pi \cdot \frac{3}{2} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.