Вопросы, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие координаты будут у точки $F_1$, соответствующей точке $F(\pi; 0)$, если известно, что она получена в результате: 1) растяжения графика функции $y = \sin x$ вдоль оси $Oy$ в 4 раза; 2) сжатия графика функции $y = \sin x$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза?

2. Сравните периоды функций $y = \sin x + 2$ и $y = \sin x$, если они заданы на всей их области определения (используйте рис. 11.4).

1. Исходная точка $F$ имеет координаты $(\pi; 0)$. Проверим, принадлежит ли она графику функции $y = \sin x$. Подставим координаты в уравнение функции: $0 = \sin(\pi)$. Равенство верное, значит, точка $F$ лежит на графике.

Преобразование графика функции $y = f(x)$ вдоль оси $Oy$ (растяжение или сжатие) переводит каждую точку $(x_0; y_0)$ на графике в точку $(x_0; k \cdot y_0)$, где $k$ – коэффициент преобразования. Абсцисса точки при этом не изменяется, а ордината умножается на коэффициент $k$.

1) растяжения графика функции $y = \sin x$ вдоль оси $Oy$ в 4 раза;

Растяжение в 4 раза означает, что коэффициент преобразования $k=4$. Новая функция имеет вид $y_1 = 4 \sin x$. Для точки $F(\pi; 0)$ новые координаты точки $F_1$ будут:

• Абсцисса остается неизменной: $x_1 = \pi$.
• Ордината умножается на 4: $y_1 = 4 \cdot 0 = 0$.

Следовательно, координаты точки $F_1$ — $(\pi; 0)$.

Ответ: $F_1(\pi; 0)$.

2) сжатия графика функции $y = \sin x$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза.

Сжатие в 3 раза означает, что коэффициент преобразования $k = \frac{1}{3}$. Новая функция имеет вид $y_2 = \frac{1}{3} \sin x$. Для точки $F(\pi; 0)$ новые координаты точки $F_1$ будут:

• Абсцисса остается неизменной: $x_1 = \pi$.
• Ордината умножается на $\frac{1}{3}$: $y_1 = \frac{1}{3} \cdot 0 = 0$.

Координаты точки $F_1$ снова $(\pi; 0)$. Это объясняется тем, что точка $F$ является точкой пересечения графика с осью абсцисс (её ордината равна нулю), и её положение не меняется при вертикальном растяжении или сжатии.

Ответ: $F_1(\pi; 0)$.

2. Необходимо сравнить периоды функций $y = \sin x + 2$ и $y = \sin x$.

Период функции — это наименьшее положительное число $T$, такое что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Основной (наименьший положительный) период функции $y = \sin x$ является известной величиной и равен $2\pi$.

Функция $y = \sin x + 2$ получается из функции $y = \sin x$ путем прибавления константы 2. Графически это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика $y = \sin x$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Такое преобразование, как вертикальный сдвиг, не влияет на периодичность функции, так как форма графика не изменяется.

Проверим это аналитически. Найдем период $T$ для функции $y = \sin x + 2$: $\sin(x+T) + 2 = \sin x + 2$

Вычитая 2 из обеих частей равенства, получаем: $\sin(x+T) = \sin x$

Это уравнение полностью совпадает с уравнением для нахождения периода функции $y = \sin x$. Следовательно, наименьший положительный период $T$ для функции $y = \sin x + 2$ также равен $2\pi$.

Таким образом, периоды обеих функций равны между собой и составляют $2\pi$.

Ответ: периоды функций равны.