Номер 7, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Найдите функцию общего вида:

A) $f(x) = x^7 - 5x^3 + x$;

B) $f(x) = x^3 - 4x^5 + x$;

C) $f(x) = x^6 - 5x^3 + \frac{1}{x - 1}$;

D) $f(x) = x^4 - 2x^2 + \sqrt{|x|}$.

Функция общего вида — это функция, которая не является ни четной, ни нечетной. Для определения типа функции необходимо проверить её на четность.

- Функция $f(x)$ называется четной, если ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля и для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

- Функция $f(x)$ называется нечетной, если ее область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля и для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция является функцией общего вида.

Рассмотрим каждую из предложенных функций.

A) $f(x) = x^7 - 5x^3 + x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^7 - 5(-x)^3 + (-x) = -x^7 - 5(-x^3) - x = -x^7 + 5x^3 - x$.

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -(x^7 - 5x^3 + x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

B) $f(x) = x^3 - 4x^5 + x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 - 4(-x)^5 + (-x) = -x^3 - 4(-x^5) - x = -x^3 + 4x^5 - x$.

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -(x^3 - 4x^5 + x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция является нечетной.

C) $f(x) = x^6 - 5x^3 + \frac{1}{x-1}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Данная область определения не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x = -1$ принадлежит области определения, а симметричная ей точка $x = 1$ — не принадлежит.

Функция, у которой область определения несимметрична, не может быть ни четной, ни нечетной. Следовательно, это функция общего вида.

Ответ: функция является функцией общего вида.

D) $f(x) = x^4 - 2x^2 + \sqrt{|x|}$

Область определения функции — все действительные числа ($|x| \ge 0$ для всех $x$), $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + \sqrt{|-x|}$.

Поскольку $(-x)^4 = x^4$, $(-x)^2 = x^2$ и $|-x| = |x|$, получаем:

$f(-x) = x^4 - 2x^2 + \sqrt{|x|}$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция является четной.

По результатам анализа, единственной функцией общего вида из предложенных вариантов является функция C).