Задания, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что промежутки $[\$\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n\$]$, где $n$ — целое число, являются промежутками убывания функции $y = \sin x$.

Для доказательства того, что функция $y = \sin x$ убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n$ — целое число, воспользуемся производной. Функция является убывающей на тех интервалах, где ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$.

1. Найдем производную функции $y = \sin x$.

$y' = (\sin x)' = \cos x$.

2. Определим, на каких промежутках производная $y' = \cos x$ неположительна. Для этого решим неравенство:

$\cos x \le 0$.

3. Для решения неравенства воспользуемся тригонометрической окружностью. Значение $\cos x$ соответствует абсциссе (горизонтальной координате) точки на единичной окружности, отвечающей углу $x$.

Абсцисса точки на единичной окружности отрицательна во второй и третьей координатных четвертях и равна нулю на вертикальной оси (оси ординат).

Это соответствует углам от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, на одном обороте ($[0; 2\pi]$) неравенство $\cos x \le 0$ выполняется при $x \in [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

4. Поскольку функция $y = \cos x$ является периодической с периодом $2\pi$, общее решение неравенства $\cos x \le 0$ получается добавлением $2\pi n$ к границам найденного промежутка, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, производная $y' \le 0$ при $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$.

Так как производная функции $y = \sin x$ неположительна на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, это означает, что функция $y = \sin x$ на этих промежутках убывает. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на анализе знака производной функции $y=\sin x$. Производная $y'=\cos x$ неположительна ($\cos x \le 0$) именно на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n$ — целое число. Согласно свойству производной, если производная функции на некотором промежутке неположительна, то функция на этом промежутке убывает. Таким образом, указанные промежутки являются промежутками убывания функции $y=\sin x$.