Номер 11.2, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.2. Докажите, что является нечетной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^3 + \sin x;$

2) $f(x) = x^5\sin^2x;$

3) $f(x) = (2 - x^2)\sin^3x;$

4) $f(x) = x - \sin^3x;$

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^4 - 4};$

6) $f(x) = \frac{\sin 6x}{x^2 - 9}.$

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. При этом область определения должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

Докажем, что каждая из заданных функций удовлетворяет этим условиям.

1) $f(x) = x^3 + \sin x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 + \sin(-x)$.

Используя свойства нечетности степенной функции ($(-x)^3 = -x^3$) и функции синус ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем:

$f(-x) = -x^3 - \sin x = -(x^3 + \sin x) = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) $f(x) = x^5\sin^2x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^5\sin^2(-x)$.

Функция $g(x) = x^5$ является нечетной, так как $(-x)^5 = -x^5$. Функция $h(x) = \sin^2x$ является четной, так как $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2x$. Произведение нечетной и четной функций является нечетной функцией. Проверим это:

$f(-x) = (-x^5)(\sin^2x) = -x^5\sin^2x = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

3) $f(x) = (2 - x^2)\sin^3x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (2 - (-x)^2)\sin^3(-x)$.

Множитель $g(x) = (2 - x^2)$ является четной функцией, так как $2 - (-x)^2 = 2 - x^2$. Множитель $h(x) = \sin^3x$ является нечетной функцией, так как $\sin^3(-x) = (\sin(-x))^3 = (-\sin x)^3 = -\sin^3x$.

$f(-x) = (2 - x^2)(-\sin^3x) = -(2 - x^2)\sin^3x = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

4) $f(x) = x - \sin^3x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x) - \sin^3(-x)$.

Функция $g(x) = x$ является нечетной. Функция $h(x) = \sin^3x$ также является нечетной, как показано в предыдущем пункте. Разность двух нечетных функций является нечетной функцией.

$f(-x) = -x - (-\sin^3x) = -x + \sin^3x = -(x - \sin^3x) = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

5) $f(x) = \frac{\sin x}{x^4 - 4}$

Найдем область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^4 - 4 \neq 0$, откуда $x^4 \neq 4$ и $x \neq \pm\sqrt{2}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^4 - 4}$.

Числитель $\sin(-x) = -\sin x$ (нечетная функция). Знаменатель $(-x)^4 - 4 = x^4 - 4$ (четная функция). Частное нечетной и четной функций является нечетной функцией.

$f(-x) = \frac{-\sin x}{x^4 - 4} = -\frac{\sin x}{x^4 - 4} = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{\sin 6x}{x^2 - 9}$

Найдем область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^2 - 9 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(6(-x))}{(-x)^2 - 9}$.

Числитель $g(x) = \sin(6x)$ является нечетной функцией: $\sin(6(-x)) = \sin(-6x) = -\sin(6x)$. Знаменатель $h(x) = x^2 - 9$ является четной функцией: $(-x)^2 - 9 = x^2 - 9$.

$f(-x) = \frac{-\sin(6x)}{x^2 - 9} = -\frac{\sin 6x}{x^2 - 9} = -f(x)$.

Поскольку область определения симметрична и $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: что и требовалось доказать.