Номер 11.5, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.5. Найдите наименьший положительный период и постройте график функции:

1) $y = \sin3x$

2) $y = \sin3x\cos2x + \sin2x\cos3x$

3) $y = \sin\frac{1}{3}x + 1$

1) y = sin3x;

Для нахождения наименьшего положительного периода функции вида $y = \sin(kx)$ используется формула $T = \frac{2\pi}{|k|}$, где $2\pi$ — это основной период функции $y = \sin x$.

В данном случае $k = 3$. Следовательно, наименьший положительный период равен:$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

График функции $y = \sin(3x)$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза. Амплитуда функции равна 1, область значений функции — отрезок $[-1, 1]$. Основные точки на одном периоде $[0, \frac{2\pi}{3}]$:

• $(0, 0)$ — начало периода
• $(\frac{\pi}{6}, 1)$ — точка максимума
• $(\frac{\pi}{3}, 0)$ — пересечение оси Ox
• $(\frac{\pi}{2}, -1)$ — точка минимума
• $(\frac{2\pi}{3}, 0)$ — конец периода

Ответ: Наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{3}$. График функции — это синусоида, сжатая в 3 раза вдоль оси Ox по сравнению с графиком $y = \sin x$.

2) y = sin3xcos2x + sin2xcos3x;

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

В нашем случае $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$. Тогда функция принимает вид:$y = \sin(3x + 2x) = \sin(5x)$.

Теперь найдем наименьший положительный период для функции $y = \sin(5x)$. Здесь $k = 5$.$T = \frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$.

График функции $y = \sin(5x)$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали (вдоль оси Ox) в 5 раз. Амплитуда функции равна 1, область значений — отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: Наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{5}$. График функции — это синусоида, сжатая в 5 раз вдоль оси Ox по сравнению с графиком $y = \sin x$.

3) y = sin$\frac{1}{3}$x + 1.

Наименьший положительный период функции $y = \sin(kx) + c$ такой же, как и у функции $y = \sin(kx)$, так как сложение с константой $c$ является лишь сдвигом графика по вертикали и не влияет на периодичность.

В данном случае $k = \frac{1}{3}$. Период равен:$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Для построения графика функции $y = \sin(\frac{1}{3}x) + 1$ нужно выполнить два преобразования над графиком $y = \sin x$:

1. Растянуть график $y = \sin x$ от оси Oy в 3 раза. Получится график функции $y = \sin(\frac{1}{3}x)$.
2. Сдвинуть полученный график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Амплитуда колебаний равна 1. Средняя линия графика — прямая $y=1$. Область значений функции — отрезок $[1-1, 1+1]$, то есть $[0, 2]$.

Ответ: Наименьший положительный период $T = 6\pi$. График функции получается из графика $y = \sin x$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox и последующим сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.